Mình thấy gặp rất nhiều bài toán về giải phương trình vô tỷ ở diễn đàn đã được giải giải bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại $2$
Và câu hỏi là : Tại sao lại có cách đặt như vậy ?? Chẳng nhẽ là may mắn sao, hay là '' mò ra ta có '' . Câu trả lời là không !!
Đặt ẩn phụ thế nào , ra sao đều có nguyên nhân của nó !!
Ở phần này , mình sẽ lý giải về cách đặt đó !!
Đầu tiên , mình sẽ nói cách đạo hàm nhé . Cái này làm nháp nên bạn không cần hiểu sâu đạo hàm đâu .
$f(x)=ax^{2}+bx+c$ (*)
$f'(x)=2ax+b$ (**)
$g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (***)
$g'(x)=3ax^{2}+2bx+c$ (****)
$g''(x)=6ax+2b$ (*****)
Từ (****) xuống (*****) thì cũng giống như từ (*) xuống (**) . Các bạn không cần biết tại sao nó lại như vậy !! Chỉ cần nhớ công thức là được
Những phần mình tô màu đỏ là làm ở Nháp nhé , không có trong bài làm !!
Dạng $1$ : $\sqrt{ax+b}=\frac{1}{a}x^{2}+cx+d$ thõa mãn $b+ad=\frac{a^{2}c}{2}(1+\frac{c}{2})$ ( các bạn nhớ chú ý điều kiện dạng này nhá , chứ không nên để lẫn lộn )
Cách giải :
Xét $f(x)=\frac{1}{a}x^{2}+cx+d$
$f'(x)=\frac{2}{a}x+c_{1}'$
Ta cho $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{-ac}{2}$ hay $x+\frac{ac}{2}=0$ ( đoạn này cũng đừng hỏi tại sao nhé , nhớ là được )
Khi đó đặt $\sqrt{ax+b}=y+\frac{ac}{2}$
Ví dụ $1$ : $x^{2}+4x=\sqrt{x+6}$ (1)
ĐK : $x\geq -6$
$f(x)=x^{2}+4x$
$f'(x)=2x+4$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2$
Đặt $\sqrt{x+6}=y+2(y\geq -2)$ (2)
$\Rightarrow (y+2)^{2}=x+6$
Từ (1) ta có : $x^{2}+4x=y+2\Leftrightarrow (x+2)^{2}=y+6$ (3)
Từ (2)(3) ta có hệ ĐX L$2$ : $\left\{\begin{matrix} (x+2)^{2}=y+6 \\ (y+2)^{2}=x+6 \end{matrix}\right.$
Việc còn lại khá đơn giản phải không ??
Dạng $2$ : $\sqrt{ax+b}=cx^{2}+dx+e$ ( $a\neq 0 ,c\neq 0 , a\neq \frac{1}{c}$ )
Cách giải
$f(x)=cx^{2}+dx+e$
$f'(x)=2cx+d$
Đặt $\sqrt{ax+b}=2cy+d$
Ví dụ $2$ : $x^{2}-x-2013\sqrt{1+16104x}=2013$ (1)
Đặt $a=2013\Rightarrow 16104=8a$
PT(1) trở thành : $x^{2}-x-a\sqrt{1+8ax}=a$ (2)
$f(x)=x^{2}-x$
$f'(x)=2x-1$
Đặt $\sqrt{1+8ax}=2y-1$ ( $y\geq \frac{1}{2}$ )
$\Rightarrow 1+8ax=4y^{2}-4y+1\Leftrightarrow y^{2}-y=2ax$ (3)
PT(2) trở thành $x^{2}-x-a(2y-1)=a\Leftrightarrow x^{2}-x=2ay$ (4)
Từ (3)(4) ta có hệ đỗi xứng loại $2$ : $\left\{\begin{matrix} x^{2}-x=2ay \\ y^{2}-y=2ax \end{matrix}\right.$
Ví dụ $3$ : Ví dụ này khó hơn $2$ ví dụ trên !!
$\sqrt{3x+1}=-4x^{2}+13x-5$ (1)
Nếu ta làm như cách trên :
$f(x)=-4x^{2}+13x$
$f'(x)=-8x+13$
Các bạn tiếp tục làm nhé , nhưng chắc chắn sẽ không ra đâu !! vì bài này khó hơn mà . Khi gặp tình cảnh này , nếu '' máy móc '' thì bí thôi .
Nếu rơi vào trường hợp này , mình chia sẽ các bạn $1$ cách tìm ra cách đặt bằng phương pháp : '' ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ ''
Ta chú ý một chút : Khi đặt $\sqrt{3x+1}=ax+b\Leftrightarrow 3x+1=a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+x(2ab-3)+(b^{2}-1)=0$ (2)
PT(1) trở thành : $4x^{2}-13x+5+ax+b=0\Leftrightarrow 4x^{2}+x(a-13)+(b+5)=0$ (3)
Để từ (2)(3) ta có hệ đối xứng loại $2$ thì ta phải cân bằng hệ số một chút :
$\left\{\begin{matrix} a^{2}=4 \\ 2ab-3=a-13 \\ b^{2}-1=b+5 \end{matrix}\right.$
Giải cái này ta sẽ tìm được : $\left\{\begin{matrix} a=-2 \\ b=3 \end{matrix}\right.$
Như vậy ta sẽ đặt : $\sqrt{3x+1}=-2y+3$ ( $y\leq \frac{3}{2}$ )
Việc còn lại các bạn tiếp tục nhé , thử xem nó có đưa về hệ đối xứng loại $2$ không
Bài tập nhé : Các bạn thử dùng cách '' Đồng nhất hệ số '' này làm lại VD $1$ và VD $2$
Mở rộng lên bậc $3$ nhé ( thử xem được không ) :
Dạng $3$ : $\sqrt[3]{ax+b}=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$ với $a\neq 0 ,c\neq 0, a=\frac{1}{c}$ ( các bạn nhớ chú ý điều kiện dạng này nhá , chứ không nên để lẫn lộn )
$f(x)=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$
$f'(x)=3cx^{2}+2dx+e$
$f''(x)=6cx+2d$
$f''(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{-d}{3c}$
Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=y+\frac{d}{3c}$
Dạng $4$ : $\sqrt[3]{ax+b}=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$ với $a\neq 0,c\neq 0,a\neq \frac{1}{c}$
$f(x)=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$
$f'(x)=3cx^{2}+2dx+e$
$f''(x)=6cx+2d$
Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=3cy+d$
BÀI TẬP ÁP DỤNG :
$1$ , $x^{2}+1=\sqrt{x-1}$
$2$ , $x^{2}-2=\sqrt{2-x}$
$3$ , $16x^{2}+10x+1=\sqrt{2x+3}$
$4$ , $3x^{2}+2x+3=\sqrt{4x-5}$
$5$ , $3x^{2}+2x+3=\sqrt{9x-5}$
$6$ , $2x^{2}+4=\sqrt{\frac{x+3}{2}}$
$7$ , $3x^{2}+x-\frac{29}{6}=\sqrt{\frac{12x+61}{36}}$
$8$ , $x^{3}+3x^{2}+3x-1=3.\sqrt[3]{3x+5}$
$9$ , $\sqrt[3]{3x-\frac{63}{8}}=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{9}{4}x$
$10$ , $\sqrt[3]{81x-8}=x^{3}-2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}-2$
P/s : Viết mỏi tay lắm rồi , các bạn nhớ LIKE và đánh giá $5$ sao nhé !!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BMT BinU: 28-07-2014 - 17:25