Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Benelux Mathematical Olympiad 2014 (BxMO 2014)

bxmo bxmo 2014 belgium netherlands luxembourg

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 29-07-2014 - 02:16

logo_bxmo_2014_300.png

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$A=\left \lfloor \frac{a+b+c}{d} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{b+c+d}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c+d+a}{b} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{d+a+b}{c} \right \rfloor$$
với $a$, $b$, $c$, $d$ là những số nguyên dương.
(Trong đó, ta định nghĩa $\left \lfloor x\right \rfloor$ là số nguyên lớn nhất, không vượt quá số thực $x$.)

 

Bài 2. Lấy $k\geq 1$ là một số nguyên cho trước.Ta xét $4k$ đồng xu, với $2k$ trong số đó có màu đỏ và $2k$ còn lại mang màu xanh. Một dãy tạo bởi $4k$ đồng xu trên có thể được biến đổi thành một dãy khác qua một phép "dịch", bằng cách đổi chỗ một (và chỉ một lần) nhóm các đồng màu đỏ kề nhau và một nhóm các đồng màu xanh kề nhau, có cùng số lượng. Ví dụ, ta có thể dịch dãy $r\underline{bb}br\underline{rr}b$ thành dãy $r\underline{rr}br\underline{bb}b$, với $r$ là một đồng màu đỏ và $b$ là một đồng màu xanh ở trong dãy.
Tính giá trị $n$ nhỏ nhất (bằng một hàm số theo $k$) sao cho bắt đầu từ một dãy $4k$ đồng xu bất kì trên, ta cần dịch nhiều nhất $n$ lần để cho $2k$ đồng đầu tiên trong dãy đều mang màu đỏ.

 

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 2$ thỏa mãn tính chất sau:
Với mỗi cặp $k,l$ là ước số dương bất kì của $n$, có ít nhất một số, $2k-l$ hoặc $2l-k$ cũng là một ước số (không nhất thiết dương) của $n$.

 

Bài 4. Cho hình vuông $ABCD$. Giả sử $P$ là điểm bất kì nằm trong hình vuông sao cho $\angle BAP\ge 60^{\circ}$. Gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và đường thẳng vuông góc với $BP$ tại $P$, còn $R$ là giao điểm của đường thẳng $BQ$ và đường vuông góc với $BP$ dựng từ $C$.
a) Chứng minh rằng $\left| BP\right| \geq \left| BR\right|$.
b) Tại vị trí nào của $P$ thì dấu đẳng thức ở câu (a) xảy ra?

 

--- Hết ---


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 02-08-2014 - 00:36

^^~




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh