Chủ đề này có 2 trả lời

[Yagami Raito]

Cho tam giác không tù $ABC$.Chứng minh rằng: 

$$\frac{\sin A\sin B}{\sin C}+\frac{\sin B\sin C}{\sin A}+\frac{\sin C\sin A}{\sin B}\ge\frac{5}{2}$$.

  

[Hoang Tung 126]

Cho tam giác không tù $ABC$.Chứng minh rằng: 

$$\frac{\sin A\sin B}{\sin C}+\frac{\sin B\sin C}{\sin A}+\frac{\sin C\sin A}{\sin B}\ge\frac{5}{2}$$.

Đặt $cotA=x,cotB=y,cotC=z= > xy+yz+xz=1$

Ta có $\sum \frac{1}{cotA+cotB}=\sum \frac{1}{\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}}=\sum \frac{sinAsinB}{sinAcosB+sinBcosA}=\sum \frac{sinAsinB}{sin(A+B)}=\sum \frac{sinAsinB}{sinC}=> \sum \frac{sinAsinB}{sinC}=\sum \frac{1}{x+y}$

Theo Iran 96 có $\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{9}{4\sum xy}=\frac{9}{4}$

                           $2\sum \frac{1}{(x+y)(y+z)}=4\frac{\sum x}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{4(\sum x)(\sum xy)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{4(x+y)(y+z)(x+z)+4xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}=4+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq 4$

Cộng theo vế $= > (\sum \frac{1}{x+y})^2\geq \frac{25}{4}> \sum \frac{1}{x+y}\geq \frac{5}{2}$

Dấu =xảy ra khi $x=0,y=z< = > cotA=0,cotB=cotC=1= > A=90,B=C=45$

[Yagami Raito]

Cho tam giác không tù $ABC$.Chứng minh rằng: 

$$\frac{\sin A\sin B}{\sin C}+\frac{\sin B\sin C}{\sin A}+\frac{\sin C\sin A}{\sin B}\ge\frac{5}{2}$$.

Giống anh Hoang Tung

Đặt $cot A=a;cot B=b;cot C=c$. Đưa bài toán trở thành: 

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng: 

$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \ge \dfrac{5}{2}$$

(China TST 2005)

Chứng minh BĐT trên có thể theo cách:

Đặt $a+b+c=x$ rồi xét 2 trường hợp $x\ge 2$ và $x<2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 30-07-2014 - 11:03