$Cho a,b,c>0 thoa man: a+b+c=1.CMR: \frac{1}{ab(a+c)}-\frac{4}{a}\geq c(\frac{4}{b}-\frac{5}{a+c})$
$\frac{1}{ab(a+c)}-\frac{4}{a}\geq c(\frac{4}{b}-\frac{5}{a+c})$
#1
Đã gửi 30-07-2014 - 10:07
#2
Đã gửi 30-07-2014 - 10:25
$Cho a,b,c>0 thoa man: a+b+c=1.CMR: \frac{1}{ab(a+c)}-\frac{4}{a}\geq c(\frac{4}{b}-\frac{5}{a+c})$
BĐT cần chứng minh
$\Leftrightarrow \frac{1}{ab(a+c)}+\frac{5c}{a+c}\geqslant \frac{4}{a}+\frac{4c}{b}\Leftrightarrow \frac{1+5abc}{ab(a+c)}\geqslant \frac{4b+4ac}{ab}$
$\Leftrightarrow 1+5abc\geqslant (4b+4ac)(a+c)\Leftrightarrow 1+5abc\geqslant 4ab+4ac+4ac(1-b)$ (do $a+c=1-b$)
$\Leftrightarrow 1+9abc\geqslant 4(ab+bc+ac)$ $(1)$
BĐT $(1)$ lại luôn đúng theo BĐT S. Chur bậc $3$:
$abc\geqslant \prod (a+b)=\prod (1-2a)=4(ab+bc+ac)-1-8abc\rightarrow 9abc+1\geqslant 4(ab+bc+ac)$
Nên ta có đpcm
Dấu $=$ khi $3a=3b=3c=1$
-------------------------------------
P/s: sửa lại tiêu đề đi bạn kẻo tí nữa " tiêu" luôn cả hai đứa
- ducbau007, chardhdmovies và DangHuyNgheAn thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh