Chủ đề này có 1 trả lời

[DangHuyNgheAn]

$Cho a,b,c>0 thoa man: a+b+c=1.CMR: \frac{1}{ab(a+c)}-\frac{4}{a}\geq c(\frac{4}{b}-\frac{5}{a+c})$

[lahantaithe99]

$Cho a,b,c>0 thoa man: a+b+c=1.CMR: \frac{1}{ab(a+c)}-\frac{4}{a}\geq c(\frac{4}{b}-\frac{5}{a+c})$

 

BĐT cần chứng minh 

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{ab(a+c)}+\frac{5c}{a+c}\geqslant \frac{4}{a}+\frac{4c}{b}\Leftrightarrow \frac{1+5abc}{ab(a+c)}\geqslant \frac{4b+4ac}{ab}$

 

$\Leftrightarrow 1+5abc\geqslant (4b+4ac)(a+c)\Leftrightarrow 1+5abc\geqslant 4ab+4ac+4ac(1-b)$ (do $a+c=1-b$)

 

$\Leftrightarrow 1+9abc\geqslant 4(ab+bc+ac)$ $(1)$

 

BĐT $(1)$ lại luôn đúng theo BĐT S. Chur bậc $3$:

 

$abc\geqslant \prod (a+b)=\prod (1-2a)=4(ab+bc+ac)-1-8abc\rightarrow 9abc+1\geqslant 4(ab+bc+ac)$

 

Nên ta có đpcm

 

Dấu $=$ khi $3a=3b=3c=1$

 

-------------------------------------

 

P/s: sửa lại tiêu đề đi bạn kẻo tí nữa " tiêu" luôn cả hai đứa