Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức và cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 60 trả lời

#1 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương,Phú Thọ
  • Sở thích:Phương trình hệ phương trình,đại số,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 30-07-2014 - 11:37

*
Phổ biến

Chào các bạn,trong thời gian vừa qua mình thấy trên diễn đàn toán khá nhiều bạn hỏi những bài toán về kỹ thuật chọn điểm rơi.Vì vậy hôm nay mình mở ra topic này để mọi người tìm hiểu và học thêm nhiều kiến thức.Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn gọi là cân bằng hệ số thường được dùng rất hay trong các kỳ thi học sinh giỏi,kỳ thi tuyển sinh vào cấp 3

Sau đây,các bạn hãy đến với những ví dụ đầu tiên

Ví dụ 1:

Cho $x\geq 1$.Tìm min của biểu thức:$P=3x+\frac{1}{2x}$

 

Chắc chắn gặp bài toán này nhiều bạn sẽ giải như sau:

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:$P\geq 2\sqrt{3x.\frac{1}{2x}}=2.\sqrt{\frac{3}{2}}$

Dấu bằng xảy ra:$3x=\frac{1}{2x}$ từ đó giải được $x=\frac{1}{\sqrt{6}}$ nhưng lại không thỏa mãn điều kiện $x\geq 1$

 

Vì thế chúng ta không thể kết luận được min của biểu thức

 

Ví dụ 2:

Cho $a,b,c>0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$p=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Lời giải 

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:$P\geq 2+2+2=6$

Nhưng lúc nhìn lại dấu bằng lại không có bội nào thỏa mãn

 

Qua đó,nhiều bạn sẽ đặt ra câu hỏi làm bài toán trên như thế nào

 

 

Xin quay trở lại ví dụ 1

Ta có:$P=3x+\frac{1}{2x}$

 

Lời giải của sách:

 

Ta cân bằng hệ số $3=k+(3-k)$

Vơi 0<$k<3$ ta sẽ có biểu thức viết lại như sau

$P=(3-k)x+kx+\frac{1}{2x}$

Đến đây sử dụng bất đẳng thức cô si ta được $(3-k)x\geq 3-k,kx+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{k}{2}}$

Suy ra $p\geq 3-k+\sqrt{2k}$

Xét dấu bằng xảy ra:$\left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ kx=\frac{1}{2x} & & \end{matrix}\right.$

                        $<=>k=\frac{1}{2}$

Với $k=\frac{1}{2}$ là số thích hợp

Thay vào ta có:$P\geq 3-\frac{1}{2}+\sqrt{2.\frac{1}{2}}=\frac{7}{2}$.Dấu bằng xảy ra tại $x=1$

Ta thay vào thỏa mãn đề bài.Bài toán như vậy đã được giải quyết

 

Chắc chắn khi đọc lời giải này nhiều bạn sẽ không hiểu tại sao lại giải như vậy.Vì vậy tớ sẽ làm theo ý hiểu của riêng mình,mong là mọi người dễ hiểu hơn

 

Trước hết ta đi phân tích ở một số giả thiết.Vì đề bài ra là $x\geq 1$ nên việc sơ cấp đầu tiên là mọi người đều nghĩ ra là dấu bằng xảy ra khi $x=1$

Gọi $y$ là số ta định chọn điểm rơi

Ta biết dấu bằng xảy ra tại $3x=y.\frac{1}{2x}$

mà ở trên dự đoán $x=1$ nên thay vào tính được $y=6$

 

Từ đó lời giải hoàn chỉnh là

Ta có $P=3x+\frac{1}{2x}=3x+\frac{6}{2x}-\frac{5}{2x}\geq 2.\sqrt{3x.\frac{6}{2x}}-\frac{5}{2x}=6-\frac{5}{2x}$

Mà $x\geq 1$ nên $2x\geq 2$

hay $\frac{5}{2x}\leq \frac{5}{2}$(vì $2x>0$)

suy ra $-\frac{5}{2x}\geq -\frac{5}{2}$

Từ đó:$P\geq 6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$

Dấu bằng xảy ra tại $x=1$

 

Đáp số vẫn ra như trên nhưng cách giải của mình hoàn toàn khác

 

Ta quay trở lại vídụ 2

 

Theo lời giải của mình và cách tách như mình nhé:

Ta có dấu bằng xảy ra:$k\frac{b+c}{a}=\frac{a}{b+c}$

Dự đoán $a=b=c$ nên ta chọn được $k=\frac{1}{4}$

Từ đó:Áp dụng bất đẳng thức cô si có

$\frac{1}{4}\frac{b+c}{a}+\frac{a}{b+c}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1$

Tương tự ta có:

$P\geq 3+\frac{3}{4}(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c})$

Trong ngoặc ta sẽ dễ dàng chứng minh $\geq 6$

Ta có:$P\geq 3+\frac{3}{4}.6=\frac{15}{2}$

Dấu bằng xảy ra $a=b=c$

 

Trên là những bài toán rất dễ dự đoán dấu bằng ,mình xin nêu một số bài toán khó dự đoán dấu bằng

Xét ví dụ sau

Ví dụ 3:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.Chứng minh:

A=$10x^2+10y^2+z^2\geq 4$

 

Một số bạn dự đoán dấu bằng tại $x=y=z$ nhưng lại không thỏa mãn đề bài

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:

$2x^2+2y^2\geq 4xy$

$8x^2+\frac{1}{2}z^2\geq 4xz$

$8y^2+\frac{1}{2}z^2\geq 4yz$

Đến đây có

$A\geq 4(xy+yz+xz)=4$.Dấu bằng xảy ra

$\left\{\begin{matrix}x=y & & \\ 4x=z & & \\ 4y=z & & \end{matrix}\right.$

hay $\left\{\begin{matrix}x=y=\frac{1}{3} & & \\ z=\frac{4}{3} & & \end{matrix}\right.$

 

Bài toán tuy lời giải rất đơn giản nhưng ai nghĩ ra được dấu bằng như vậy không.Theo mình những bài trên đã là những bài rất hay và khó  rồi,mình không rõ lời giải tổng quát bài toán.

Bài toán trên sẽ khó hơn nếu đề ra là

Tìm min:$A=10x^2+10y^2+z^2$ vì dấu bằng xảy ra không tại x=y=z

 

 

Qua các bài toán trên,mình mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về kỹ thuật này.Bài viết này không tránh khỏi những chỗ sai nên mong các bạn góp ý cho topic.Mong các bạn ủng hộ topic mình nhé.Mình xin cảm ơn!

 

 

Dưới đây là bài tập vận dụng.Mình sẽ post từ dễ đến khó những bài khó mình sẽ tô màu đỏ.Mong các bạn làm hết rồi sẽ post bài khác kẻo tràn bài toán trên topic

 

1,Cho $a\geq 2$.Tìm min $A=2a+\frac{1}{a}$

2,Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=2$.Tìm min:$P=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$

3,Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn:$0\leq a\leq 3$ và $a+b=11$.Tìm max $P=ab$

4.Cho ${\color{Red}a,b,c>0 }$ và ${\color{Red} a+b+c=1}$.Tìm max ${\color{Red} P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}$

5,Cho ${\color{Red} x,y\geq 0}$ thỏa mãn:${\color{Red} x^2+y^2=5}$.Tìm min:${\color{Red} P=x^3+y^6}$

6,Cho ${\color{Red} x,y,z\geq 0}$ và ${\color{Red} x+y+z=3}$.Tìm min ${\color{Red} P=x^4+2y^4+3z^4}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#2 tuananh2000

tuananh2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-07-2014 - 11:51

Bài 1:Ta dự đoán rằng điểm rơi của bài toán khi x=2, khi đó $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$ , ta sẽ ghép như sau :

$A=\frac{1}{a}+\frac{a}{4}+\frac{7a}{4}\geq 2+\frac{7.2}{4}=5.5$. Dấu đẳng thức xay ra khi $x=2$

Bài 3:Ta dự đoán điểm rơi của bài toán khi $a=3$ và $b=11$. Ta sẽ dùng AM-GM như sau:

$P=\frac{1}{24}.8a.3b\leq \frac{1}{24}.\frac{(8a+3b)^{2}}{4}=\frac{\left [ 3(a+b)+5b \right ]^{2}}{96}=\frac{(33+5a)^{2}}{96}\leq \frac{(33+5.3)^{2}}{96}=24$

Vậy $MaxP =24$ khi $a=3$ và $b=11$

Bài 5: Ta dự đoán điểm rơi của bài toán khi $a=2$ và $b=1$, Theo AM-GM thì

$x^{3}+4=\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+4\geq 3x^{2}$

$y^{6}+2=y^{6}+1+1\geq 3y^{2}$

Từ đó có $P\geq 9$

Đẳng thức xảy ra khi $x=2$ và $y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuananh2000: 30-07-2014 - 11:58

Live more - Be more  


#3 huukhangvn

huukhangvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nhà của tui
  • Sở thích:nói chung là có

Đã gửi 30-07-2014 - 19:16

Ở bài 3 ta có thể chứng minh bất đẳng thức $a\left ( 11-a \right )\geq (a-m)(11+m-a)$ (với $0\leq m\leq a$) rồi áp dụng suy ra Max P



#4 Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 460 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-07-2014 - 20:24

Một số bài không đối xứng làm việc dự đoán dấu ''='' trở nên khó khăn, mà không dự đoán được dấu ''='' thì mình tịt luôn hướng đi :(

 

Chẳng hạn như bài thi HSG lớp 9 Hưng Yên vừa rồi:

 

''Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+2b+3c=10$. Chứng minh $a+b+c+\dfrac{3}{4a}+\dfrac{9}{8b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{13}{2}$''

 

Làm thế nào để đoán được dấu ''='' xảy ra ở đâu vậy các bạn :)



#5 ktt

ktt

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:Toán học, Facebook, Wikipedia, IT, Radio, Thời sự, Quốc phòng

Đã gửi 06-08-2014 - 21:28

Một số bài không đối xứng làm việc dự đoán dấu ''='' trở nên khó khăn, mà không dự đoán được dấu ''='' thì mình tịt luôn hướng đi :(

 

Chẳng hạn như bài thi HSG lớp 9 Hưng Yên vừa rồi:

 

''Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+2b+3c=10$. Chứng minh $a+b+c+\dfrac{3}{4a}+\dfrac{9}{8b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{13}{2}$''

 

Làm thế nào để đoán được dấu ''='' xảy ra ở đâu vậy các bạn :)

 

khó đoán thật :icon6: họ cố tình chơi xấu :ukliam2:
 


Rất dàirất xa

 

những ngày mong nhớ...

 

Nơi cháy lên ngọn lửa

 

Trái tim yêu thương...


#6 lehoangphuc1820

lehoangphuc1820

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Phan Chu Trinh, Buôn Ma Thuột, Đăk Lăk
  • Sở thích:Số Học

Đã gửi 07-08-2014 - 22:02

 

6,Cho ${\color{Red} x,y,z\geq 0}$ và ${\color{Red} x+y+z=3}$.Tìm min ${\color{Red} P=x^4+2y^4+3z^4}$

Phân tích

 

Giải: 

Đăt: $a=\sqrt[3]{2}b=\sqrt[3]{3}c=k=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow a^3=2b^3=3c^3=k^3$

 

Theo phân tích trên ta có:

$P+3(a^4+2b^4+3c^4)\geq 4(xa^3+2yb^3+3zc^3)\Rightarrow P\geq 4a^3(x+y+z)-3(a^4+2b^4+3c^4)=12a^3-3(a^4+2b^4+3c^4)$

(vì $a+b+c=3$)

Đến đây chắc ổn rồi, chỉ cần thay $a,b,c$ vào nữa là xong !  :luoi:

 

P/s


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoangphuc1820: 07-08-2014 - 23:11

- Một người giỏi Vật Lí là 1 người luôn đi đúng hướng giải và tìm ra đáp án mà không có gì giải thích được tại sao làm theo hướng đó lại đúng. ĐÓ LÀ SỰ NHẠY BÉN CỦA VẬT LÍ
- Một người giỏi Toán là người luôn tìm ra nhiều hướng giải cho 1 bài tập và sau đó biết hướng nào sẽ bế tắc, hướng nào sẽ đơn giản nhất để lựa chọn cách giải phù hợp nhất. ĐÓ LÀ SỰ THÔNG MINH CỦA TOÁN HỌC
- Một người giỏi Hóa là người đọc đề sẽ biết được dữ kiện này dùng để làm gì. Từ dữ kiện này sẽ được kết hợp với các dữ kiện khác như thế nào để tìm ra đáp án chính xác. ĐÓ LÀ SỰ LOGIC CỦA HÓA HỌC
 

#7 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 07-08-2014 - 23:41

Một số bài không đối xứng làm việc dự đoán dấu ''='' trở nên khó khăn, mà không dự đoán được dấu ''='' thì mình tịt luôn hướng đi :(

 

Chẳng hạn như bài thi HSG lớp 9 Hưng Yên vừa rồi:

 

''Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+2b+3c=10$. Chứng minh $a+b+c+\dfrac{3}{4a}+\dfrac{9}{8b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{13}{2}$''

 

Làm thế nào để đoán được dấu ''='' xảy ra ở đâu vậy các bạn :)

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$VT=\frac{3}{4a}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{8b}+\frac{b}{2}+\frac{1}{c}+\frac{c}{4}+\frac{a+2b+3c}{4}\geq 2\sqrt{\frac{3}{4a}.\frac{3a}{4}}+2\sqrt{\frac{9}{8b}.\frac{b}{2}}+2\sqrt{\frac{1}{c}.\frac{c}{4}}+\frac{10}{4}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+1+\frac{10}{4}=\frac{13}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=1;b=\frac{3}{2};c=2$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#8 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 08-08-2014 - 00:48

2,Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=2$.Tìm min:$P=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$

Giải

Áp dụng BĐT Mincopxki ta có

$P\geq \sqrt{(a+b+c)^2+2\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \end{pmatrix}^2}\geq \sqrt{4+\frac{162}{4}}= \frac{\sqrt{178}}{2}$

Vậy $P$ min $= \frac{\sqrt{178}}{2}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 08-08-2014 - 00:49

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#9 hoangson2598

hoangson2598

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:học toán và chơi thể thao
    →♡Math♡←

Đã gửi 11-08-2014 - 21:51

Một số bài không đối xứng làm việc dự đoán dấu ''='' trở nên khó khăn, mà không dự đoán được dấu ''='' thì mình tịt luôn hướng đi :(

 

Chẳng hạn như bài thi HSG lớp 9 Hưng Yên vừa rồi:

 

''Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+2b+3c=10$. Chứng minh $a+b+c+\dfrac{3}{4a}+\dfrac{9}{8b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{13}{2}$''

 

Làm thế nào để đoán được dấu ''='' xảy ra ở đâu vậy các bạn :)

Thực ra, pp này không nhất thiết là cứ phải dự đoán mới được

Đặt hệ số vào, kết hợp với dữ kiện bài cho, ta sẽ có được cách tách phù hợp


                  :like  :like  :like  :like  :like  Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.    :like  :like  :like  :like  :like 

                                                                    

                                                                       Albert Einstein

 

                                        :icon6: My Facebookhttps://www.facebook...100009463246438  :icon6:


#10 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương,Phú Thọ
  • Sở thích:Phương trình hệ phương trình,đại số,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 11-08-2014 - 21:55

Thực ra, pp này không nhất thiết là cứ phải dự đoán mới được

Đặt hệ số vào, kết hợp với dữ kiện bài cho, ta sẽ có được cách tách phù hợp

Một số bài toán dùng điểm rơi đâu có dấu bằng xảy ra .Cách của mình cũng gọi là một phần mò nhưng nó vẫn áp dụng ý tưởng dấu bằng xảy ra cho điểm rơi thôi.Mình phải làm sao cho họ hiểu được phương pháp 


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#11 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 12-08-2014 - 16:25

Thực ra, pp này không nhất thiết là cứ phải dự đoán mới được

Đặt hệ số vào, kết hợp với dữ kiện bài cho, ta sẽ có được cách tách phù hợp

 

 

Một số bài toán dùng điểm rơi đâu có dấu bằng xảy ra .Cách của mình cũng gọi là một phần mò nhưng nó vẫn áp dụng ý tưởng dấu bằng xảy ra cho điểm rơi thôi.Mình phải làm sao cho họ hiểu được phương pháp 

Hệ số ... hãy làm ví dụ về cái này để mọi người hiểu!



#12 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 14-08-2014 - 07:32

Hệ số ... hãy làm ví dụ về cái này để mọi người hiểu!

Ví dụ đã có như trên phân tích của lehoangphuc1820 Hoàng ơi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 14-08-2014 - 07:32

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#13 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-08-2014 - 07:51

Đóng góp một bài về điểm rơi giả định : Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm Max: $$A=a^2b^5c^9$$

#14 huyhoangfan

huyhoangfan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-08-2014 - 08:49

Đóng góp một bài về điểm rơi giả định : Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm Max: $$A=a^2b^5c^9$$

Giải:

ta có:

 

$3=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{5}+\frac{b}{5}+\frac{b}{5}+\frac{b}{5}+\frac{b}{5}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}\geq 16\sqrt[16]{(\frac{a}{2})^{2}.(\frac{b}{5})^{5}.(\frac{c}{9})^{9}}\Leftrightarrow \frac{3^{16}}{16^{16}}\geq \frac{a^{2}.b^{5}.c^{9}}{2^{2}.5^{5}.9^{9}}\Leftrightarrow a^{2}.b^{5}.c^{9}\leq \frac{3^{16}.2^{2}.5^{5}.9^{9}}{16^{16}}$.

 

Dấu bằng xảy ra khi:$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{9} & \\ a+b+c=3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{3}{8} & & \\ b=\frac{15}{16} & & \\ c=\frac{27}{16} & & \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangfan: 14-08-2014 - 09:16


#15 chieckhantiennu

chieckhantiennu

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 621 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\textrm{12A3 THPT Quốc Oai}$ $\textrm{Hà Nội}$
  • Sở thích:Anime, Cartoon, nhạc EDM, USUK.

Đã gửi 14-08-2014 - 09:23

1 Bài Bất..
Cho a,b,c là các số dương.

CM: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$ 


Đỗ Hoài Phương

Một số phận..

Facebook: https://www.facebook.com/phuong.july.969


#16 tuananh2000

tuananh2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-08-2014 - 11:10

1 Bài Bất..
Cho a,b,c là các số dương.

CM: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$ 

http://diendantoanho...bc/#entry510750


Live more - Be more  


#17 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 16-08-2014 - 13:18

Giải:

ta có:

 

$3=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{5}+\frac{b}{5}+\frac{b}{5}+\frac{b}{5}+\frac{b}{5}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}+\frac{c}{9}\geq 16\sqrt[16]{(\frac{a}{2})^{2}.(\frac{b}{5})^{5}.(\frac{c}{9})^{9}}\Leftrightarrow \frac{3^{16}}{16^{16}}\geq \frac{a^{2}.b^{5}.c^{9}}{2^{2}.5^{5}.9^{9}}\Leftrightarrow a^{2}.b^{5}.c^{9}\leq \frac{3^{16}.2^{2}.5^{5}.9^{9}}{16^{16}}$.

 

Dấu bằng xảy ra khi:$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{9} & \\ a+b+c=3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{3}{8} & & \\ b=\frac{15}{16} & & \\ c=\frac{27}{16} & & \end{matrix}\right.$

Phân tích cụ thể ra là như thế nào vậy cậu?


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#18 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 16-08-2014 - 13:30

1 Bài Bất..
Cho a,b,c là các số dương.

CM: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$ 

Giải

Chuẩn hóa $abc=1$. Đặt $(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \end{pmatrix}$

BĐT cần chứng minh tương đương với

$\frac{xy}{xz+yz}+\frac{yz}{xy+xz}+\frac{xz}{xy+yz}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2y^2}{xy(xz+yz)}+\frac{y^2z^2}{yz(xy+xz)}+\frac{z^2x^2}{zx(xy+yz)}\geq \frac{3}{2}$ $(1)$

Áp dụng BĐT S-vác, ta có

$VT_{(1)}\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{\sum xy(xz+yz)}=\frac{(xy+yz+zx)^2}{2xyz(x+y+z)}$

Như vậy ta cần chứng minh $xyz(x+y+z)\leq \frac{(xy+yz+zx)^2}{3}$. Nhưng BĐT này luôn đúng vì đây là BĐT $AM-GM$

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 16-08-2014 - 13:35

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#19 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 16-08-2014 - 13:48

4.Cho ${\color{Red}a,b,c>0 }$ và ${\color{Red} a+b+c=1}$.Tìm max ${\color{Red} P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}$

 

Giải

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$P=a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c}\leq a+\frac{a+4b}{4}+\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{4(a+b+c)}{3}=\frac{4}{3}$

Vậy $P$ max $=\frac{4}{3}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=4b=16c & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\frac{21}{16};b=\frac{4}{21};c=\frac{1}{21}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 16-08-2014 - 13:49

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#20 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương,Phú Thọ
  • Sở thích:Phương trình hệ phương trình,đại số,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 17-08-2014 - 17:05

Xin post tiếp một số bài hay nhé

6,Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ biết $x\in \left [ 0;2 \right ]$

7,Cho $a,b>0$ thỏa mãn $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

8,Cho $x,y,z\in \left [ 1;4 \right ]$ thỏa mãn $x\geq y,x\geq z$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

9,Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$

Chứng minh:$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+...+\frac{1}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}\leq 2(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})$

 

Mong các bạn post bài trong topic thì đánh số thứ tự bài cho đỡ lẫn nhé.Cảm ơn.Ba bài màu đỏ rất hay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 17-08-2014 - 17:32

Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh