Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức và cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 79 trả lời

#21 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-08-2014 - 17:39

Xin post tiếp một số bài hay nhé

6,Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ biết $x\in \left [ 0;2 \right ]$

7,Cho $a,b>0$ thỏa mãn $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

8,Cho $x,y,z\in \left [ 1;4 \right ]$ thỏa mãn $x\geq y,x\geq z$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

9,Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$

Chứng minh:$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+...+\frac{1}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}\leq 2(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})$

 

Mong các bạn post bài trong topic thì đánh số thứ tự bài cho đỡ lẫn nhé.Cảm ơn.Ba bài màu đỏ rất hay

Những bài này theo anh không hẳn là điểm rơi em à! hơn nữa nó khá khó so với trình độ $THCS$  ( do ở đây là box THCS )

Như bài thứ $6$ phải dùng đạo hàm đây!

Đặt $P=f(x)$ thì $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;2]$

Ta lấy đạo hàm $f'(x)=\frac{2x^2+4x-6}{(x+1)^2}$

Do $ x\in [0;2]$ nên $f'(x)=0$ khi $x=1$

Tính $f(0)=3;f(1)=1,f(2)=\frac{5}{3}$

Vây nên $Max P=3 và Min P =1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 17-08-2014 - 17:40


#22 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 18-08-2014 - 13:09

Những bài này theo anh không hẳn là điểm rơi em à! hơn nữa nó khá khó so với trình độ $THCS$  ( do ở đây là box THCS )

Như bài thứ $6$ phải dùng đạo hàm đây!

Đặt $P=f(x)$ thì $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;2]$

Ta lấy đạo hàm $f'(x)=\frac{2x^2+4x-6}{(x+1)^2}$

Do $ x\in [0;2]$ nên $f'(x)=0$ khi $x=1$

Tính $f(0)=3;f(1)=1,f(2)=\frac{5}{3}$

Vây nên $Max P=3 và Min P =1$

Dùng phương pháp miền giá trị anh ơi.Cái này đâu còn đến đạo hàm đâu anh 


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#23 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 18-08-2014 - 15:22

1 Bài Bất..
Cho a,b,c là các số dương.

CM: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$ 

 

 

Giải

Chuẩn hóa $abc=1$. Đặt $(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \end{pmatrix}$

BĐT cần chứng minh tương đương với

$\frac{xy}{xz+yz}+\frac{yz}{xy+xz}+\frac{xz}{xy+yz}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2y^2}{xy(xz+yz)}+\frac{y^2z^2}{yz(xy+xz)}+\frac{z^2x^2}{zx(xy+yz)}\geq \frac{3}{2}$ $(1)$

Áp dụng BĐT S-vác, ta có

$VT_{(1)}\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{\sum xy(xz+yz)}=\frac{(xy+yz+zx)^2}{2xyz(x+y+z)}$

Như vậy ta cần chứng minh $xyz(x+y+z)\leq \frac{(xy+yz+zx)^2}{3}$. Nhưng BĐT này luôn đúng vì đây là BĐT $AM-GM$

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1$

 Phép chuẩn hoá chỉ có thể áp dụng đối với các bài đẳng cấp đồng bậc. Bài này không thuộc dạng này nên ko thể chuẩn hoá được $abc=1$ đâu !!!



#24 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 18-08-2014 - 19:11

6,Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ biết $x\in \left [ 0;2 \right ]$

 

PP miền giá trị

$P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}\Leftrightarrow f(x)=2x^2-(P+3)x+3-P=0$ (1)

$\Delta_{(1)}=(P+3)^2-4.2.(3-P)=P^2+14P-15=(P-1)(P+15)\ ;\\ f(0)=3-P\ ;\ f(2)=5-3P$

Viét : $\frac{S}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{P+3}{4}$
(gt) : (1) có nghiệm $x\in[0;2]\Leftrightarrow 0\le x_1\le x_2\le2$  $\vee$  $0\le x_1\le2\le x_2$  $\vee$  $x_1\le0\le x_2\le2$

$\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta_{(1)}\ge0\\f(0)\ge0\\f(2)\ge0\\0\le\frac{S}{2}\le2 \end{cases}$  $\vee$  $\begin{cases}f(0)\ge0\\f(2)\le0 \end{cases}$  $\vee$  $\begin{cases}f(0)\le0\\f(2)\ge0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}P\le-15\ \vee\ P\ge1\\P\le3\\P\le\frac{5}{3}\\1\le P\le5\end{cases}$ $\vee$ $\begin{cases}P\le3\\P\ge\frac{5}{3}\end{cases}$ $\vee$ $\begin{cases}P\ge3\\P\le\frac{5}{3}\end{cases}$

$\Leftrightarrow 1\le P\le\frac{5}{3}$   $\vee$   $\frac{5}{3}\le P\le 3$   $\vee$   $P\in\varnothing$

Từ đây ta thấy : $\min P=1$ tại $\Delta_{(1)}=0\Leftrightarrow x=\frac{S}{2}=\frac{P+3}{4}=1$;

$\max P=3$ tại $f(0)=0\Leftrightarrow x=0$.



#25 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 18-08-2014 - 19:35

 Phép chuẩn hoá chỉ có thể áp dụng đối với các bài đẳng cấp đồng bậc. Bài này không thuộc dạng này nên ko thể chuẩn hoá được $abc=1$ đâu !!!

Thế tớ đổi biến luôn $(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \end{pmatrix}$ mà không cần phải chuẩn hóa được không cậu?


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#26 chieckhantiennu

chieckhantiennu

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 621 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\textrm{12A3 THPT Quốc Oai}$ $\textrm{Hà Nội}$
  • Sở thích:Anime, Cartoon, nhạc EDM, USUK.

Đã gửi 18-08-2014 - 22:13

4 bài này tặng pic. 

10. Cho $a,b,c \in [1;2]$.

CM: $\frac{(a+b)^2}{2c^2+2ab+3c(a+b)}+\frac{c^2}{(a+b)^2+6c(a+b)+4c^2}\geq \frac{3}{11}$

11. Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$.

CM: $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\geq 2+\sqrt{22+\frac{1}{abc}}$

12. Cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1.

CM: $\frac{1+x^2}{1+y+z^2+}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$

13. cho $x,y,z>0; x^2+2y^2+3z^2=1$.

Tìm min: $A=\frac{1}{1-\sqrt{6}yz}+\frac{1}{1-\sqrt{3}xz}+\frac{1}{1-\sqrt{2}xy}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 19-08-2014 - 17:41

Đỗ Hoài Phương

Một số phận..

 


#27 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 19-08-2014 - 12:04

4 bài này tặng pic. 

10. Cho $a,b,c \in [1;2]$.

CM: $\frac{(a+b)^2}{2c^2+2ab+3c(a+b)}+\frac{c^2}{(a+b)^2+6c(a+b)+4c^2}\geq \frac{3}{11}$

11. Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$.

CM: $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\geq 2+\sqrt{22+\frac{1}{abc}}$

 

Bài 10 tại đây nhé.

Bài 11.Mình gửi lên diễn đàn nhưng chưa ai làm nên mình cũng không muốn post lời giải cứ để vậy  :icon6:


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#28 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 19-08-2014 - 16:36

7,Cho $a,b>0$ thỏa mãn $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

 

Bài này mình xin post lời giải.Không biết có đúng hay không mong mọi người xem hộ.Hơi dài với trâu vì em làm bằng kiến thức THCS :icon6:

 

Vì $a,b>0$ nên $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

$<=>2(a^2+b^2)+ab=(a+b)ab+2(a+b)$

$<=>2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+1=a+b+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng bất đẳng thức cô si có

$(a+b)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{2(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}$

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t(t> 0)$

Ta có 

$2t+1\geq 2\sqrt{2(t+2)}$

$<=>(2t+1)^2\geq 8(t+2)$

$<=>4t^2-4t\geq 15$

$<=>(2t-1)^2\geq 16$

hay $t\geq \frac{5}{2}(t> 0)$

Khi đó:$P=4\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^3-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \right ]-9\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2 \right ]=4(t^3-3t)-9(t^2-2)=4t^3-9t^2-12t+18=(4t^3-20t^2+25t)+(11t^2-55t+\frac{275}{4})+(18t-45)-\frac{23}{4}=t(2t-5)^2+11(t-\frac{5}{2})^2+9(2t-5)-\frac{23}{4}\geq -\frac{23}{4}$

Dấu bằng xảy ra $t=\frac{5}{2}<=>\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5}{2} & & \\ (a+b)=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) & & \end{matrix}\right.$

$<=>(a,b)\in \left \{ (1;2),(2;1) \right \}$

Vậy min $P=-\frac{23}{4}$

 

Bài toán điểm mấu chốt là đặt ẩn và đưa về bất đẳng thức đoạn đánh giá.Đây là một bài thi Đại học khối B năm 2011,em làm kiến thức THCS mong anh chị xem hộ em nhé.Cảm ơn ạ!


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#29 vua thac mac

vua thac mac

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Học-khám phá...

Đã gửi 19-08-2014 - 19:42

Bài này mình xin post lời giải.Không biết có đúng hay không mong mọi người xem hộ.Hơi dài với trâu vì em làm bằng kiến thức THCS :icon6:

 

Vì $a,b>0$ nên $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

$<=>2(a^2+b^2)+ab=(a+b)ab+2(a+b)$

$<=>2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+1=a+b+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng bất đẳng thức cô si có

$(a+b)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{2(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}$

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t(t> 0)$

Ta có 

$2t+1\geq 2\sqrt{2(t+2)}$

$<=>(2t+1)^2\geq 8(t+2)$

$<=>4t^2-4t\geq 15$

$<=>(2t-1)^2\geq 16$

hay $t\geq \frac{5}{2}(t> 0)$

Khi đó:$P=4\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^3-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \right ]-9\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2 \right ]=4(t^3-3t)-9(t^2-2)=4t^3-9t^2-12t+18=(4t^3-20t^2+25t)+(11t^2-55t+\frac{275}{4})+(18t-45)-\frac{23}{4}=t(2t-5)^2+11(t-\frac{5}{2})^2+9(2t-5)-\frac{23}{4}\geq -\frac{23}{4}$

Dấu bằng xảy ra $t=\frac{5}{2}<=>\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5}{2} & & \\ (a+b)=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) & & \end{matrix}\right.$

$<=>(a,b)\in \left \{ (1;2),(2;1) \right \}$

Vậy min $P=-\frac{23}{4}$

 

Bài toán điểm mấu chốt là đặt ẩn và đưa về bất đẳng thức đoạn đánh giá.Đây là một bài thi Đại học khối B năm 2011,em làm kiến thức THCS mong anh chị xem hộ em nhé.Cảm ơn ạ!

Mình nói không biết đúng hay sai nhưng mình thấy chỗ này hơi vô lý thì phải...

Ý tưởng của bạn là chia cả hai vế cho $ab$, nên chỗ đó thành là $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Mình nói sai thì sr vậy...



#30 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 20-08-2014 - 12:39

Mình nói không biết đúng hay sai nhưng mình thấy chỗ này hơi vô lý thì phải...

Ý tưởng của bạn là chia cả hai vế cho $ab$, nên chỗ đó thành là $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Mình nói sai thì sr vậy...

Bạn nhầm à $\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ mà ?


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#31 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 20-08-2014 - 21:28

Thế tớ đổi biến luôn $(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \end{pmatrix}$ mà không cần phải chuẩn hóa được không cậu?

 

Không thể đặt như vậy, vì nếu đặt như vậy là cậu đã chấp nhận $abc=1$ rồi còn gì.



#32 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 24-08-2014 - 10:55

8,Cho $x,y,z\in \left [ 1;4 \right ]$ thỏa mãn $x\geq y,x\geq z$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

 

 

Mình xin trình bày lời giải của mình

Áp dụng bổ đề.Nếu $a,b$ là 2 số dương thỏa mãn $ab\geq 1$ thì $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Ta có:

$P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}=\frac{1}{2+3.\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Theo bổ đề có

$\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{\frac{z}{y}.\frac{x}{z}}}=\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$

Từ đó:$P\geq \frac{1}{2+3.\frac{y}{x}}+\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}=Q$

Đặt $t=\sqrt{\frac{x}{y}}=>t\in \left [ 1;2 \right ]$

Khi đó $Q=\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{t+1}=(\frac{t^2}{2t^2+3}-\frac{4}{11})+(\frac{2}{t+1}-\frac{2}{3})+\frac{34}{33}=\frac{3(t^2-4)}{11(2t^2+3)}+\frac{2(2-t)}{3(t+1)}\frac{34}{33}=\frac{(2-t)(35t^2-27t+48)}{33(2t^2+3)(t+1)}+\frac{34}{33}\geq \frac{34}{33}$

Dấu bằng xảy ra $t=2 =>x=4,y=1,z=2$

 

Bài toán này dùng kiến thức THCS hơi khó.Mâu chốt là dùng bất đẳng thức mình đã tô màu đỏ và đặt ẩn.Bài 6,7 đều là những bài dùng điểm rơi rất hay!


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#33 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 24-08-2014 - 11:25

Lần này mình xin post bài tập nhẹ với tương đối với kiến thức THCS nhé  :icon6: 

Bài 14:Cho $a,b>0;a+b=1$.Tìm min biểu thức:$P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

Bài 15:Cho $a,b>0$ .Tìm min biểu thức $A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\frac{4}{a^2+b^2}$

Bài 16:Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 24-08-2014 - 11:26

Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#34 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 27-08-2014 - 13:29

 

11. Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$.

CM: $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\geq 2+\sqrt{22+\frac{1}{abc}}$

 

Bài 11 đây :D

http://diendantoanho...bc/#entry520697



#35 chieckhantiennu

chieckhantiennu

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 621 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\textrm{12A3 THPT Quốc Oai}$ $\textrm{Hà Nội}$
  • Sở thích:Anime, Cartoon, nhạc EDM, USUK.

Đã gửi 27-08-2014 - 20:03

$\fbox{17}$

Cho $a,b,c>0$. CM:

$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\geq \frac{1}{3}abc(a^3+b^3+c^3)$

$\fbox{18}$

Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=3$.

CM: $\sum \frac{1}{a+b}+\frac{15}{4}\geq 14\sum \frac{1}{a^2+7}$


Đỗ Hoài Phương

Một số phận..

 


#36 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 28-08-2014 - 07:11

Lần này mình xin post bài tập nhẹ với tương đối với kiến thức THCS nhé  :icon6: 

Bài 14:Cho $a,b>0;a+b=1$.Tìm min biểu thức:$P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

Bài 15:Cho $a,b>0$ .Tìm min biểu thức $A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\frac{4}{a^2+b^2}$

Bài 16:Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$

$14)$

$P\geq 2ab+\frac{2}{ab}=2ab+\frac{1}{8ab}+\frac{15}{8ab}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{8\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{1}{2}+\frac{15}{2}=8$

Dấu $"="$ có khi: $a=b=\frac{1}{2}$

$15)$

http://truongviethoa...-ab-va-ab1.html

$16)$

 

Đặt $t=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}$
Ta sẽ chứng minh $t\geq 3$

Thật vậy: $$t\geq 3\Leftrightarrow 2(x+y+1)^2\geq 6(x+y+xy)$$

$$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0$$

Điều này luôn đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$
Ta có: $A=\dfrac{8t}{9}+\left(\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}\right)\geq \dfrac{24}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi: $t=3\Leftrightarrow x=y=1$

(http://truongviethoa...acxyxyxy12.html)



#37 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 28-08-2014 - 07:16

Tặng pic:
$19)$

Cho $a;b;c>0$ và $a + b + c = 1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$

$20)$

Cho $x;y>0$ thỏa $x+y\geq 6$. Tìm GTNN của $P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$

$21)$

Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2\geq b^2+c^2$. Tìm GTNN của $Q=\frac{1}{a^2}(b^2+c^2)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-08-2014 - 18:35


#38 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 28-08-2014 - 16:59

Tặng pic:
$19)$

Cho $a;b;c>0$ và $a + b + c = 1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$

19/ P$\geq \frac{9}{ab+ac+bc}+\frac{4}{1-ab-ac-bc}=\frac{4}{1-ab-ac-bc}+9(1-ab-ac-bc)+\frac{9}{ab+ac+bc}+81(ab+ac+bc)-9-72(ab+ac+bc)\geq 12+54-9-\frac{72}{3}=33.$

(Ở đây chú ý BĐT: $3.(ab+ac+bc)\leq (a+b+c)^2$)

Dấu bằng: $a=b=c=\frac{1}{3}$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#39 datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1-THPT Mộc Lỵ - Sơn La
  • Sở thích:math,soccer

Đã gửi 28-08-2014 - 17:10

$20)$

Cho $x;y>0$ thỏa $x+y\geq 6$. Tìm GTNN của $P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$

Ta có: $P=\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}+\frac{1}{2}y+\frac{8}{y}+\frac{3}{2}(x+y)\geq 6+4+9=19$.

Vậy $MinP=19$ khi $x=2;y=4$.

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha.


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#40 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 28-08-2014 - 17:18

$21)$

Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2\geq b^2+c^2$. Tìm GTNN của $Q=\frac{1}{a^2}(b^2+c^2)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$

Q$\geq \frac{2bc}{a^2}+\frac{2a^2}{bc}=\frac{2bc}{a^2}+\frac{a^2}{2bc}+\frac{3.a^2}{bc}\geq 2+3=5$

Dấu bằng: $b=c=\frac{a}{\sqrt{2}}$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(




3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh