Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức và cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 79 trả lời

#61 Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-06-2019 - 10:39

giúp em bài này với ạ:

cho x, y dương t/m x+y\geq 3. chứng minh x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\geq \frac{9}{2}

$x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\left (\frac{x}{2}+\frac{1}{2x} \right )+\left ( \frac{y}{2}+\frac{2}{y} \right )+\frac{x+y}{2}\geq 2.\frac{1}{2}+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

dấu '=' khi x=1 y=2



#62 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 27-10-2019 - 09:14

Giải

Chuẩn hóa $abc=1$. Đặt $(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \end{pmatrix}$

BĐT cần chứng minh tương đương với

$\frac{xy}{xz+yz}+\frac{yz}{xy+xz}+\frac{xz}{xy+yz}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2y^2}{xy(xz+yz)}+\frac{y^2z^2}{yz(xy+xz)}+\frac{z^2x^2}{zx(xy+yz)}\geq \frac{3}{2}$ $(1)$

Áp dụng BĐT S-vác, ta có

$VT_{(1)}\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{\sum xy(xz+yz)}=\frac{(xy+yz+zx)^2}{2xyz(x+y+z)}$

Như vậy ta cần chứng minh $xyz(x+y+z)\leq \frac{(xy+yz+zx)^2}{3}$. Nhưng BĐT này luôn đúng vì đây là BĐT $AM-GM$

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1$

chuẩn hóa lafsao vậy bạn? mà vai trò a,b,c có tương đương đâu thì chuẩn hóa kiểu j


                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#63 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 27-10-2019 - 09:24

Phân tích cụ thể ra là như thế nào vậy cậu?

Chúng ta cần nhóm theo bất đẳng thức cô si đảo để xuất hiện a+b+c. chúng ta sẽ chọn hệ số x,y,z sao cho 2x.a = 5y.b =9z.c

=>x=1$\frac{}1{2}$, y=$\frac{1}{5}$, z=$\frac{1}{9}$


                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#64 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 27-10-2019 - 10:21

Ta có: $P=\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}+\frac{1}{2}y+\frac{8}{y}+\frac{3}{2}(x+y)\geq 6+4+9=19$.

Vậy $MinP=19$ khi $x=2;y=4$.

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha

cậu chỉ giúp tớ cách đoán nghiệm được ko, tớ mới  giải đến chỗ $\begin{cases} \alpha x=6 & \text{ if } x= \\ (\alpha - 1)(6-x^2)=8 & \text{ if } x= \end{cases}$

thì chịu luôn


                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#65 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 27-10-2019 - 11:22

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$VT=\frac{3}{4a}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{8b}+\frac{b}{2}+\frac{1}{c}+\frac{c}{4}+\frac{a+2b+3c}{4}\geq 2\sqrt{\frac{3}{4a}.\frac{3a}{4}}+2\sqrt{\frac{9}{8b}.\frac{b}{2}}+2\sqrt{\frac{1}{c}.\frac{c}{4}}+\frac{10}{4}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+1+\frac{10}{4}=\frac{13}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=1;b=\frac{3}{2};c=2$

Phân tích:

ta có cách nhóm như sau: áp dụng cô si đảo để khử phân thức, ta nhóm $\alpha a$ với $\frac{3}{4a}$ và tương tự, ta cần có:

1-$\alpha$:1-$\beta$:1-$\gamma$=1:2:3

Đến đây chúng ta mò bằng các gt đặc biệt (khác 0):

VD: $\frac{1}{4}$:$\frac{2}{4}$:$\frac{3}{4}$

Nếu có j thiếu sót hoặc sai sót, mong mn chỉ giúp


                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#66 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 27-10-2019 - 18:04

Giải

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$P=a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c}\leq a+\frac{a+4b}{4}+\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{4(a+b+c)}{3}=\frac{4}{3}$

Vậy $P$ max $=\frac{4}{3}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=4b=16c & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\frac{21}{16};b=\frac{4}{21};c=\frac{1}{21}$

Anh ơi bài này có phải là TA LẬP ĐƯỢC HỆ THỨC: 1+$\frac{1}{2\alpha }$+$\frac{}1{3\beta }$=$\frac{\alpha }{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{\beta }{3}$

rồi ta rút  $\alpha$ ra, bấm máy tính đúng ko ạ? Nếu ko thì anh đã nhẩm hệ số ntn chỉ giúp em với được ko anh? em cảm ơn anh nhiều


                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#67 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 16-11-2019 - 19:04

Không thể đặt như vậy, vì nếu đặt như vậy là cậu đã chấp nhận $abc=1$ rồi còn gì.

  CMR:  $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$ (với a,b,c là các số thực DƯƠNG)

 

 

 

 

 

Mình xin post một cách khác phù hợp hơn với THCS

https://diendantoanh...rị-thcs/page-61


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung4299: 16-11-2019 - 19:08

                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#68 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 02-02-2020 - 22:24

4.1.

Cho a,b,c >0 TM: a+b+c=2 .CMR:
A=$\frac{bc+a+1}{a^{2}+1}+\frac{ca+b+1}{b^{2}+1}+\frac{ab+c+1}{c^{2}+1}\leq \frac{39}{10}$
 


                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#69 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 03-02-2020 - 08:18

4.1.

Cho a,b,c >0 TM: a+b+c=2 .CMR:
A=$\frac{bc+a+1}{a^{2}+1}+\frac{ca+b+1}{b^{2}+1}+\frac{ab+c+1}{c^{2}+1}\leq \frac{39}{10}$
 

Cho $a=b=c=\frac{2}{3}$ thì nó ra $A = \frac{57}{13} > \frac{39}{10}$.

Hình như đề sai thì phải ạ.



#70 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 03-02-2020 - 22:39

4.2.

Cho x,y là hai số thực ko âm x,y thỏa mãn:

$x^{3}+y^{3}\leq x-y$

a)CMR: $y\leq x\leq 1$

b)CMR:$x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq 1$


                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#71 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 04-02-2020 - 16:22

Cho $a=b=c=\frac{2}{3}$ thì nó ra $A = \frac{57}{13} > \frac{39}{10}$.

Hình như đề sai thì phải ạ.

SR mình nhầm cái điều kiện a+b+c=2 sửa lại thành a+b+c =1 nha (bài 4.1.)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung4299: 04-02-2020 - 16:23

                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#72 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 04-02-2020 - 22:18

4.4.

Cho a,b,c$\geq$0. CMR:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b+c}$


                                                                     Tiền bạc ư?

                                                                                      Rồi sẽ hết.

                                                                     Sắc đẹp ư?

                                                                                      Rồi sẽ phai...

                                                                     Chỉ có

                                                                                      Tri thức đi vào khối óc.

                                                                                      Tình cảm đi vào con tim.

                                                                     Sẽ còn

                                                                                      Mãi với thời gian...

                                                                                                - Trần Phương - 1990 -


#73 thanhquoc0126

thanhquoc0126

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 20-03-2020 - 17:42

Cho x;y;z là 3 số thỏa mãn x+y+z=0 . Chứng minh rằng: \sqrt{3+4^{x}}+\sqrt{3+4^{y}}+\sqrt{3+4^{z}}\geq 6


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhquoc0126: 20-03-2020 - 17:43


#74 phan duy quang lh

phan duy quang lh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà tĩnh
  • Sở thích:toán học
    anime
    "truyện tranh" =.=

Đã gửi 20-03-2020 - 20:00

Cho x;y;z là 3 số thỏa mãn x+y+z=0 . Chứng minh rằng: \sqrt{3+4^{x}}+\sqrt{3+4^{y}}+\sqrt{3+4^{z}}\geq 6

lỗi latex kìa bạn ko đọc đc đề


trứng gà , đập vỡ từ bên ngoài là thức ăn 

đập vỡ từ bên trong là sinh mạng 

đời người cũng vậy 

đập vỡ từ bên ngoài là áp lực 

đập vỡ từ bên trong là trưởng thành  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  ~O)  :ph34r: 

                                       TÁC giả giấu tên 


#75 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 21-03-2020 - 15:20

Cho x;y;z là 3 số thỏa mãn x+y+z=0 . Chứng minh rằng: \sqrt{3+4^{x}}+\sqrt{3+4^{y}}+\sqrt{3+4^{z}}\geq 6

 

Cho $x;y;z$ là 3 số thỏa mãn $x+y+z=0$ . Chứng minh rằng: $\sqrt{3+4^{x}}+\sqrt{3+4^{y}}+\sqrt{3+4^{z}}\geq 6$



#76 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 553 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 21-03-2020 - 15:44

Cho $x;y;z$ là 3 số thỏa mãn $x+y+z=0$ . Chứng minh rằng: $\sqrt{3+4^{x}}+\sqrt{3+4^{y}}+\sqrt{3+4^{z}}\geq 6$

Ta có: $4^{x}+3\geq 4\sqrt[4]{4^{x}}$

=>$\sqrt{3+4^{x}}\geq 2\sqrt[8]{4^{x}}$

Tương tự => $VT\geq 2.\sum \sqrt[8]{4^{x}}\geq 6.\sqrt[3]{\sqrt[8]{4^{x}.4^{y}.4^{z}}}=6\sqrt[3]{\sqrt[8]{4^{x+y+z}}}=6\sqrt[3]{\sqrt[8]{4^{0}}}=6$

=>đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> $x=y=z=0$



#77 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 21-03-2020 - 16:01

4.4.

Cho a,b,c$\geq$0. CMR:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b+c}$

BĐT trên tương đương với $a+2\sqrt{a^2+bc+ab+ac} \geq 2\sqrt{ab+ac}$

Vì $a,b,c\geq 0$ nên $a+2\sqrt{a^2+bc+ab+ac}\ge 2\sqrt{a^2+bc+ab+ac}\ge 2\sqrt{ab+ac}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=0$



#78 thanhquoc0126

thanhquoc0126

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 22-03-2020 - 10:53

1.Cho a;b;c là các số dương . Tìm GTNN của Q=$\frac{\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$

2.Cho a;b;c;d>0 Tìm GTNN của P=$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}$

3.Tìm x,y thỏa mãn hệ:{\begin{matrix}x^{4}+y^{4}\geq 1 \\x^{5}+y^{3}\leq 1 \end{matrix}.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhquoc0126: 22-03-2020 - 11:01


#79 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda

Đã gửi 28-04-2020 - 19:40

1.Cho a;b;c là các số dương . Tìm GTNN của Q=$\frac{\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$

2.Cho a;b;c;d>0 Tìm GTNN của P=$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}$

3.Tìm x,y thỏa mãn hệ:{\begin{matrix}x^{4}+y^{4}\geq 1 \\x^{5}+y^{3}\leq 1 \end{matrix}.

1. Đặt $x=\sqrt{\frac{a}{b}}; y=\sqrt{\frac{b}{c}}; z=\sqrt{\frac{c}{a}}\Rightarrow xyz=1; Q=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Theo BĐT $AM-GM$: $2\sum x^{3}+3=\sum (2x^{3}+1)\geq 3(\sum x^{2})\geq 2(\sum x^{2})+3\Leftrightarrow Q\geq 1$

Vậy $minQ=1$ khi $a=b=c$

2. Áp dụng BĐT $C-S$: $P\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}$

Mặt khác theo BĐT $AM-GM$: $(a+b+c+d)^{2}=\sum a^{2}+2\sum_{sym}{ab}\geq \frac{8(\sum_{sym}{ab})}{3}$

$\Rightarrow P\geq \frac{2}{3}$

Vậy $minP=\frac{2}{3}$ khi $a=b=c=d$

To be continued...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 28-04-2020 - 19:41


#80 vietanh062005

vietanh062005

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 29-04-2020 - 00:45

1. Đặt $x=\sqrt{\frac{a}{b}}; y=\sqrt{\frac{b}{c}}; z=\sqrt{\frac{c}{a}}\Rightarrow xyz=1; Q=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
Theo BĐT $AM-GM$: $2\sum x^{3}+3=\sum (2x^{3}+1)\geq 3(\sum x^{2})\geq 2(\sum x^{2})+3\Leftrightarrow Q\geq 1$
Vậy $minQ=1$ khi $a=b=c$
2. Áp dụng BĐT $C-S$: $P\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}$
Mặt khác theo BĐT $AM-GM$: $(a+b+c+d)^{2}=\sum a^{2}+2\sum_{sym}{ab}\geq \frac{8(\sum_{sym}{ab})}{3}$
$\Rightarrow P\geq \frac{2}{3}$
Vậy $minP=\frac{2}{3}$ khi $a=b=c=d$
To be continued...






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh