Chủ đề này có 60 trả lời

[Near Ryuzaki]

Xin post tiếp một số bài hay nhé

6,Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ biết $x\in \left [ 0;2 \right ]$

7,Cho $a,b>0$ thỏa mãn $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

8,Cho $x,y,z\in \left [ 1;4 \right ]$ thỏa mãn $x\geq y,x\geq z$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

9,Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$

Chứng minh:$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+...+\frac{1}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}\leq 2(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})$

 

Mong các bạn post bài trong topic thì đánh số thứ tự bài cho đỡ lẫn nhé.Cảm ơn.Ba bài màu đỏ rất hay

Những bài này theo anh không hẳn là điểm rơi em à! hơn nữa nó khá khó so với trình độ $THCS$  ( do ở đây là box THCS )

Như bài thứ $6$ phải dùng đạo hàm đây!

Đặt $P=f(x)$ thì $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;2]$

Ta lấy đạo hàm $f'(x)=\frac{2x^2+4x-6}{(x+1)^2}$

Do $ x\in [0;2]$ nên $f'(x)=0$ khi $x=1$

Tính $f(0)=3;f(1)=1,f(2)=\frac{5}{3}$

Vây nên $Max P=3 và Min P =1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 17-08-2014 - 17:40

[Mikhail Leptchinski]

Những bài này theo anh không hẳn là điểm rơi em à! hơn nữa nó khá khó so với trình độ $THCS$  ( do ở đây là box THCS )

Như bài thứ $6$ phải dùng đạo hàm đây!

Đặt $P=f(x)$ thì $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;2]$

Ta lấy đạo hàm $f'(x)=\frac{2x^2+4x-6}{(x+1)^2}$

Do $ x\in [0;2]$ nên $f'(x)=0$ khi $x=1$

Tính $f(0)=3;f(1)=1,f(2)=\frac{5}{3}$

Vây nên $Max P=3 và Min P =1$

Dùng phương pháp miền giá trị anh ơi.Cái này đâu còn đến đạo hàm đâu anh 

[Kool LL]

1 Bài Bất..
Cho a,b,c là các số dương.

CM: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$ 

 

 

Giải

Chuẩn hóa $abc=1$. Đặt $(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \end{pmatrix}$

BĐT cần chứng minh tương đương với

$\frac{xy}{xz+yz}+\frac{yz}{xy+xz}+\frac{xz}{xy+yz}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2y^2}{xy(xz+yz)}+\frac{y^2z^2}{yz(xy+xz)}+\frac{z^2x^2}{zx(xy+yz)}\geq \frac{3}{2}$ $(1)$

Áp dụng BĐT S-vác, ta có

$VT_{(1)}\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{\sum xy(xz+yz)}=\frac{(xy+yz+zx)^2}{2xyz(x+y+z)}$

Như vậy ta cần chứng minh $xyz(x+y+z)\leq \frac{(xy+yz+zx)^2}{3}$. Nhưng BĐT này luôn đúng vì đây là BĐT $AM-GM$

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1$

 Phép chuẩn hoá chỉ có thể áp dụng đối với các bài đẳng cấp đồng bậc. Bài này không thuộc dạng này nên ko thể chuẩn hoá được $abc=1$ đâu !!!

[Kool LL]

6,Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ biết $x\in \left [ 0;2 \right ]$

 

PP miền giá trị

$P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}\Leftrightarrow f(x)=2x^2-(P+3)x+3-P=0$ (1)

$\Delta_{(1)}=(P+3)^2-4.2.(3-P)=P^2+14P-15=(P-1)(P+15)\ ;\\ f(0)=3-P\ ;\ f(2)=5-3P$

Viét : $\frac{S}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{P+3}{4}$
(gt) : (1) có nghiệm $x\in[0;2]\Leftrightarrow 0\le x_1\le x_2\le2$  $\vee$  $0\le x_1\le2\le x_2$  $\vee$  $x_1\le0\le x_2\le2$

$\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta_{(1)}\ge0\\f(0)\ge0\\f(2)\ge0\\0\le\frac{S}{2}\le2 \end{cases}$  $\vee$  $\begin{cases}f(0)\ge0\\f(2)\le0 \end{cases}$  $\vee$  $\begin{cases}f(0)\le0\\f(2)\ge0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}P\le-15\ \vee\ P\ge1\\P\le3\\P\le\frac{5}{3}\\1\le P\le5\end{cases}$ $\vee$ $\begin{cases}P\le3\\P\ge\frac{5}{3}\end{cases}$ $\vee$ $\begin{cases}P\ge3\\P\le\frac{5}{3}\end{cases}$

$\Leftrightarrow 1\le P\le\frac{5}{3}$   $\vee$   $\frac{5}{3}\le P\le 3$   $\vee$   $P\in\varnothing$

Từ đây ta thấy : $\min P=1$ tại $\Delta_{(1)}=0\Leftrightarrow x=\frac{S}{2}=\frac{P+3}{4}=1$;

$\max P=3$ tại $f(0)=0\Leftrightarrow x=0$.

[nguyenhongsonk612]

 Phép chuẩn hoá chỉ có thể áp dụng đối với các bài đẳng cấp đồng bậc. Bài này không thuộc dạng này nên ko thể chuẩn hoá được $abc=1$ đâu !!!

Thế tớ đổi biến luôn $(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \end{pmatrix}$ mà không cần phải chuẩn hóa được không cậu?

[chieckhantiennu]

4 bài này tặng pic. 

10. Cho $a,b,c \in [1;2]$.

CM: $\frac{(a+b)^2}{2c^2+2ab+3c(a+b)}+\frac{c^2}{(a+b)^2+6c(a+b)+4c^2}\geq \frac{3}{11}$

11. Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$.

CM: $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\geq 2+\sqrt{22+\frac{1}{abc}}$

12. Cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1.

CM: $\frac{1+x^2}{1+y+z^2+}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$

13. cho $x,y,z>0; x^2+2y^2+3z^2=1$.

Tìm min: $A=\frac{1}{1-\sqrt{6}yz}+\frac{1}{1-\sqrt{3}xz}+\frac{1}{1-\sqrt{2}xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 19-08-2014 - 17:41

[Mikhail Leptchinski]

4 bài này tặng pic. 

10. Cho $a,b,c \in [1;2]$.

CM: $\frac{(a+b)^2}{2c^2+2ab+3c(a+b)}+\frac{c^2}{(a+b)^2+6c(a+b)+4c^2}\geq \frac{3}{11}$

11. Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$.

CM: $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\geq 2+\sqrt{22+\frac{1}{abc}}$

 

Bài 10 tại đây nhé.

Bài 11.Mình gửi lên diễn đàn nhưng chưa ai làm nên mình cũng không muốn post lời giải cứ để vậy 

[Mikhail Leptchinski]

7,Cho $a,b>0$ thỏa mãn $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

 

Bài này mình xin post lời giải.Không biết có đúng hay không mong mọi người xem hộ.Hơi dài với trâu vì em làm bằng kiến thức THCS

 

Vì $a,b>0$ nên $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

$<=>2(a^2+b^2)+ab=(a+b)ab+2(a+b)$

$<=>2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+1=a+b+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng bất đẳng thức cô si có

$(a+b)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{2(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}$

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t(t> 0)$

Ta có 

$2t+1\geq 2\sqrt{2(t+2)}$

$<=>(2t+1)^2\geq 8(t+2)$

$<=>4t^2-4t\geq 15$

$<=>(2t-1)^2\geq 16$

hay $t\geq \frac{5}{2}(t> 0)$

Khi đó:$P=4\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^3-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \right ]-9\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2 \right ]=4(t^3-3t)-9(t^2-2)=4t^3-9t^2-12t+18=(4t^3-20t^2+25t)+(11t^2-55t+\frac{275}{4})+(18t-45)-\frac{23}{4}=t(2t-5)^2+11(t-\frac{5}{2})^2+9(2t-5)-\frac{23}{4}\geq -\frac{23}{4}$

Dấu bằng xảy ra $t=\frac{5}{2}<=>\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5}{2} & & \\ (a+b)=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) & & \end{matrix}\right.$

$<=>(a,b)\in \left \{ (1;2),(2;1) \right \}$

Vậy min $P=-\frac{23}{4}$

 

Bài toán điểm mấu chốt là đặt ẩn và đưa về bất đẳng thức đoạn đánh giá.Đây là một bài thi Đại học khối B năm 2011,em làm kiến thức THCS mong anh chị xem hộ em nhé.Cảm ơn ạ!

[vua thac mac]

Bài này mình xin post lời giải.Không biết có đúng hay không mong mọi người xem hộ.Hơi dài với trâu vì em làm bằng kiến thức THCS

 

Vì $a,b>0$ nên $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

$<=>2(a^2+b^2)+ab=(a+b)ab+2(a+b)$

$<=>2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+1=a+b+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng bất đẳng thức cô si có

$(a+b)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{2(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}$

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t(t> 0)$

Ta có 

$2t+1\geq 2\sqrt{2(t+2)}$

$<=>(2t+1)^2\geq 8(t+2)$

$<=>4t^2-4t\geq 15$

$<=>(2t-1)^2\geq 16$

hay $t\geq \frac{5}{2}(t> 0)$

Khi đó:$P=4\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^3-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \right ]-9\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2 \right ]=4(t^3-3t)-9(t^2-2)=4t^3-9t^2-12t+18=(4t^3-20t^2+25t)+(11t^2-55t+\frac{275}{4})+(18t-45)-\frac{23}{4}=t(2t-5)^2+11(t-\frac{5}{2})^2+9(2t-5)-\frac{23}{4}\geq -\frac{23}{4}$

Dấu bằng xảy ra $t=\frac{5}{2}<=>\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5}{2} & & \\ (a+b)=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) & & \end{matrix}\right.$

$<=>(a,b)\in \left \{ (1;2),(2;1) \right \}$

Vậy min $P=-\frac{23}{4}$

 

Bài toán điểm mấu chốt là đặt ẩn và đưa về bất đẳng thức đoạn đánh giá.Đây là một bài thi Đại học khối B năm 2011,em làm kiến thức THCS mong anh chị xem hộ em nhé.Cảm ơn ạ!

Mình nói không biết đúng hay sai nhưng mình thấy chỗ này hơi vô lý thì phải...

Ý tưởng của bạn là chia cả hai vế cho $ab$, nên chỗ đó thành là $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Mình nói sai thì sr vậy...

[Mikhail Leptchinski]

Mình nói không biết đúng hay sai nhưng mình thấy chỗ này hơi vô lý thì phải...

Ý tưởng của bạn là chia cả hai vế cho $ab$, nên chỗ đó thành là $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Mình nói sai thì sr vậy...

Bạn nhầm à $\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ mà ?

[Kool LL]

Thế tớ đổi biến luôn $(a;b;c)\rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \end{pmatrix}$ mà không cần phải chuẩn hóa được không cậu?

 

Không thể đặt như vậy, vì nếu đặt như vậy là cậu đã chấp nhận $abc=1$ rồi còn gì.

[Mikhail Leptchinski]

8,Cho $x,y,z\in \left [ 1;4 \right ]$ thỏa mãn $x\geq y,x\geq z$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

 

 

Mình xin trình bày lời giải của mình

Áp dụng bổ đề.Nếu $a,b$ là 2 số dương thỏa mãn $ab\geq 1$ thì $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Ta có:

$P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}=\frac{1}{2+3.\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Theo bổ đề có

$\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{\frac{z}{y}.\frac{x}{z}}}=\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$

Từ đó:$P\geq \frac{1}{2+3.\frac{y}{x}}+\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}=Q$

Đặt $t=\sqrt{\frac{x}{y}}=>t\in \left [ 1;2 \right ]$

Khi đó $Q=\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{t+1}=(\frac{t^2}{2t^2+3}-\frac{4}{11})+(\frac{2}{t+1}-\frac{2}{3})+\frac{34}{33}=\frac{3(t^2-4)}{11(2t^2+3)}+\frac{2(2-t)}{3(t+1)}\frac{34}{33}=\frac{(2-t)(35t^2-27t+48)}{33(2t^2+3)(t+1)}+\frac{34}{33}\geq \frac{34}{33}$

Dấu bằng xảy ra $t=2 =>x=4,y=1,z=2$

 

Bài toán này dùng kiến thức THCS hơi khó.Mâu chốt là dùng bất đẳng thức mình đã tô màu đỏ và đặt ẩn.Bài 6,7 đều là những bài dùng điểm rơi rất hay!

[Mikhail Leptchinski]

Lần này mình xin post bài tập nhẹ với tương đối với kiến thức THCS nhé   

Bài 14:Cho $a,b>0;a+b=1$.Tìm min biểu thức:$P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

Bài 15:Cho $a,b>0$ .Tìm min biểu thức $A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\frac{4}{a^2+b^2}$

Bài 16:Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 24-08-2014 - 11:26

[lahantaithe99]

 

11. Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$.

CM: $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\geq 2+\sqrt{22+\frac{1}{abc}}$

 

Bài 11 đây

http://diendantoanho...bc/#entry520697

[chieckhantiennu]

$\fbox{17}$

Cho $a,b,c>0$. CM:

$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\geq \frac{1}{3}abc(a^3+b^3+c^3)$

$\fbox{18}$

Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=3$.

CM: $\sum \frac{1}{a+b}+\frac{15}{4}\geq 14\sum \frac{1}{a^2+7}$

[Viet Hoang 99]

Lần này mình xin post bài tập nhẹ với tương đối với kiến thức THCS nhé   

Bài 14:Cho $a,b>0;a+b=1$.Tìm min biểu thức:$P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

Bài 15:Cho $a,b>0$ .Tìm min biểu thức $A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\frac{4}{a^2+b^2}$

Bài 16:Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$

$14)$

$P\geq 2ab+\frac{2}{ab}=2ab+\frac{1}{8ab}+\frac{15}{8ab}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{8\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{1}{2}+\frac{15}{2}=8$

Dấu $"="$ có khi: $a=b=\frac{1}{2}$

$15)$

http://truongviethoa...-ab-va-ab1.html

$16)$

 

Đặt $t=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}$
Ta sẽ chứng minh $t\geq 3$

Thật vậy: $$t\geq 3\Leftrightarrow 2(x+y+1)^2\geq 6(x+y+xy)$$

$$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0$$

Điều này luôn đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$
Ta có: $A=\dfrac{8t}{9}+\left(\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}\right)\geq \dfrac{24}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi: $t=3\Leftrightarrow x=y=1$

(http://truongviethoa...acxyxyxy12.html)

[Viet Hoang 99]

Tặng pic:
$19)$

Cho $a;b;c>0$ và $a + b + c = 1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$

$20)$

Cho $x;y>0$ thỏa $x+y\geq 6$. Tìm GTNN của $P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$

$21)$

Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2\geq b^2+c^2$. Tìm GTNN của $Q=\frac{1}{a^2}(b^2+c^2)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-08-2014 - 18:35

[hoctrocuaZel]

Tặng pic:
$19)$

Cho $a;b;c>0$ và $a + b + c = 1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$

19/ P$\geq \frac{9}{ab+ac+bc}+\frac{4}{1-ab-ac-bc}=\frac{4}{1-ab-ac-bc}+9(1-ab-ac-bc)+\frac{9}{ab+ac+bc}+81(ab+ac+bc)-9-72(ab+ac+bc)\geq 12+54-9-\frac{72}{3}=33.$

(Ở đây chú ý BĐT: $3.(ab+ac+bc)\leq (a+b+c)^2$)

Dấu bằng: $a=b=c=\frac{1}{3}$

[datmc07061999]

$20)$

Cho $x;y>0$ thỏa $x+y\geq 6$. Tìm GTNN của $P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$

Ta có: $P=\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}+\frac{1}{2}y+\frac{8}{y}+\frac{3}{2}(x+y)\geq 6+4+9=19$.

Vậy $MinP=19$ khi $x=2;y=4$.

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha.

[hoctrocuaZel]

$21)$

Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2\geq b^2+c^2$. Tìm GTNN của $Q=\frac{1}{a^2}(b^2+c^2)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$

Q$\geq \frac{2bc}{a^2}+\frac{2a^2}{bc}=\frac{2bc}{a^2}+\frac{a^2}{2bc}+\frac{3.a^2}{bc}\geq 2+3=5$

Dấu bằng: $b=c=\frac{a}{\sqrt{2}}$