Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3 $. Chứng minh rằng : 

$$\frac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 30-07-2014 - 15:30

[Johan Liebert]

$\rightarrow abc \geq 1$

 

Đặt $a=\dfrac{x}{y}; b=\dfrac{y}{z} \rightarrow c \geq \dfrac{z}{x}$

 

$\rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}=\sqrt{\dfrac{y^3}{x^3+y^3}}$

 

Tương tự cộng từng vế

 

$\sum \dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}} \leq \sum \sqrt{\dfrac{y^3}{x^3+y^3}}$

 

Đặt $x^3=m ; y^3=n ; z^3=p$

 

$\rightarrow \sum \dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}} \leq \sum \sqrt{\dfrac{n}{m+n}}$

 

$(\sum \sqrt{\dfrac{n}{m+n}})^2$

 

$=(\sum \sqrt{\dfrac{n(n+p)}{(m+n)(n+p)}})^2$

 

$\leq (n+p+m+n+m+p)(\sum \dfrac{n}{(m+n)(n+p)})$

 

$=\dfrac{4(m+n+p)(mn+mp+np)}{(m+n)(n+p)(m+p)}$

 

$\leq \dfrac{9}{2}$

 

Vậy ta có dpcm

[Trang Luong]

Cách 2:

Ta có BĐT sau : $a^2+1\leq \sqrt{(a+1)\left ( a^3+1 \right )}$ theo BĐTBunhia

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^3+1}}\leq \frac{\sqrt{a+1}}{a^2+1}\leq \frac{\sqrt{a+1}}{2a}\leq \frac{a+1+2}{4\sqrt{2}a}=\frac{3}{4\sqrt{2}a}+\frac{1}{4\sqrt{2}}$

Tương tự : ...

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{a^3+1}}\leq \frac{3}{4\sqrt{2}}\left ( \sum \frac{1}{a} \right )+\frac{3}{4\sqrt{2}}=\frac{12}{4\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$