Chủ đề này có 1 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a,b,c>0, a+b+c=3$. Chứng minh rằng  : $$\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a^3+1}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{c^3+1}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}$$

[Johan Liebert]

$\rightarrow abc \leq 1$

 

Đặt $a=\dfrac{m}{n}; b=\dfrac{n}{p} \rightarrow c \leq \dfrac{p}{m}$

 

$\rightarrow \sqrt{\dfrac{c^3}{c^3+1}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{c^3+1}} \leq \sqrt{\dfrac{m}{m+n}}$

 

Tương tự

 

$\rightarrow \sum \sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+1}} \leq \sum \sqrt{\dfrac{m}{m+n}}$

 

$(\sum \sqrt{\dfrac{m}{m+n}})^2=(\sum \sqrt{\dfrac{m(m+p)}{(m+n)(m+p)}})^2$

 

$\leq 2(m+n+p)(\sum \dfrac{m}{(m+n)(m+p)}$

 

$=\dfrac{4(m+n+p)(mn+np+mp)}{(m+n)(n+p)(m+p)} \leq \dfrac{9}{2}$

 

Vậy ta có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 30-07-2014 - 16:40