Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\sqrt{10}}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 31-07-2014 - 13:40

Chứng minh rằng $sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\sqrt{10}}{4}$


:lol:Thuận :lol:

#2 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 890 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 23-08-2014 - 22:12

Chứng minh rằng $sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\sqrt{10}}{4}$

Lời giải :

$\sin A +\sin B +\sqrt{6}.\sin C \\ =2.\sin \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+ \sqrt{6}.\sin C\\ = 2.\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+\sqrt{6}.\sin C$

Ta có :$C \in (0;\pi)\Rightarrow 0 \leq \frac{C}{2}\leq \frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos \frac{C}{2} >0\\$

Suy ra :$2.\cos \frac{C}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+\sqrt{6}.\sin C\leq 2.\cos \frac{C}{2}+\sqrt{6}.\sin C$

Khảo sát hàm số $f(x)=2\cos \frac{x}{2}+ \sqrt{6}.\sin x, x\in\left [ 0;\pi \right ]\\ f'(x)=-\sin \frac{x}{2}+\sqrt{6}.\cos x=-2\sqrt{6}.\sin ^{2} \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2} +\sqrt{6}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}=\sin \frac {x_{0}}{2} (x_{0}=2\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4})\\ (x\in [0;\pi] \rightarrow \sin \frac{x}{2} >0)$

Nếu $f'(x) >0\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}<\sin \frac{x_{0}}{2}\Leftrightarrow x<x_{0} (x \in (0;\frac{\pi}{2}))\\$

$f'(x) <0\Leftrightarrow x>x_{0}$
Ta thấy hàm số $f(x)$ khi qua điểm $x_{0}$ thì đổi dấu từ $(+)$ sang $(-)$ nên suy ra $x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số.
$f(0)=2; f(\pi)=0;\\$
$f(x_{0})=2\cos \frac{x_{0}}{2}+2.\sqrt{6}.\sin \frac{x_{0}}{2}.\cos \frac{x_{0}}{2}=2\sqrt{ 1-(\frac{\sqrt{6}}{4})^{2}}+2\sqrt{6}.\frac{\sqrt{6}}{4}.\sqrt{ 1-(\frac{\sqrt{6}}{4})^{2}}=\frac{5.\sqrt{10}}{4}$

Suy ra $f(x) \leq \frac{5\sqrt{10}}{4}.$ Do đó $\sin A +\sin B +\sqrt{6}.\sin C \leq \frac{5\sqrt{10}}{4}.$

Dấu bằng xảy ra khi 

$\cos \dfrac{A-B}{2}=1  \wedge \sin \dfrac{C}{2}=\sin \frac{\sqrt{6}}{4}$
$\Leftrightarrow A=B \wedge C=2\arcsin\dfrac{\sqrt{6}}{4}.$
Chứng minh hoàn tất.
p/s : Bài viết thứ $540$~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 23-08-2014 - 22:14

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh