Chủ đề này có 4 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

[phamquanglam]

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Bài này có nhiều cách giải lắm!       

Ta áp dụng AM-GM:

$x+y+z+t\geq 4\sqrt[4]{xyzt}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq 4\frac{1}{\sqrt[4]{xyzt}}$

Nhân 2 vế vào ta được:

$(x+y+z+t)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})\geq 16\Rightarrow \frac{16}{x+y+z+t}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}$

Nên:

$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{x})=\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 31-07-2014 - 16:24

[Super Fields]

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Tách $$2x+y+z=(x+y)+(y+z)$$

 

Và áp dụng bđt: $$\frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 31-07-2014 - 16:20

[datmc07061999]

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Áp dụng Cauchy-Swarchz ta được: $\frac{1}{2x+y+z}= \frac{1}{x+x+y+z}\leq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}{16}\Rightarrow đpcm$

Các bạn like ủng hộ mình nha...

[RoyalMadrid]

Bài này có nhiều cách giải lắm!       

Thì chọn cách giải đi bạn