Jump to content

Photo

Chứng minh: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$


  • Please log in to reply
4 replies to this topic

#1
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 posts

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$



#2
phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 posts

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Bài này có nhiều cách giải lắm!  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Ta áp dụng AM-GM:

$x+y+z+t\geq 4\sqrt[4]{xyzt}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq 4\frac{1}{\sqrt[4]{xyzt}}$

Nhân 2 vế vào ta được:

$(x+y+z+t)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})\geq 16\Rightarrow \frac{16}{x+y+z+t}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}$

Nên:

$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{x})=\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1$


Edited by phamquanglam, 31-07-2014 - 16:24.

:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#3
Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 posts

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Tách $$2x+y+z=(x+y)+(y+z)$$

 

Và áp dụng bđt: $$\frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$$.


Edited by Super Fields, 31-07-2014 - 16:20.

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#4
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 posts

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Áp dụng Cauchy-Swarchz ta được: $\frac{1}{2x+y+z}= \frac{1}{x+x+y+z}\leq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}{16}\Rightarrow đpcm$

Các bạn like ủng hộ mình nha...


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#5
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 posts

Bài này có nhiều cách giải lắm!  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Thì chọn cách giải đi bạn






1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users