Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $abc=1$
CMR: $\frac{1}{(a+2)(a+1)}+\frac{1}{(b+2)(b+1)}+\frac{1}{(c+2)(c+1)}\geq \frac{1}{2}$
$\frac{1}{(a+2)(a+1)}+\frac{1}{(b+2)(b+1)}+\frac{1}{(c+2)(c+1)}\geq \frac{1}{2}$
Bắt đầu bởi phamquanglam, 31-07-2014 - 23:43
hoangson2598
#1
Đã gửi 31-07-2014 - 23:43
phamquanglam
-
- Thành viên
-
- 377 Bài viết
Sĩ quan
- HoangHungChelski và chardhdmovies thích
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
#2
Đã gửi 03-08-2014 - 09:12
HoangHungChelski
-
- Thành viên
-
- 283 Bài viết
Thượng sĩ
Lời giải:
Từ giả thiết $abc=1\Rightarrow$ Đặt $(a,b,c)=\left ( \frac{yz}{x^2};\frac{zx}{y^2};\frac{zy}{z^2} \right )$
Qua biến đổi sơ cấp:
$$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{x^4}{(2x^2+yz)(x^2+yz)}\geq \frac{1}{2}$$
Áp dụng BĐT $\text{Cauchy-Schwarz}$:
$$VT\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum (2x^2+yz)(x^2+yz)}$$
Ta phải CM:
$$2(x^2+y^2+z^2)^2\geq \sum (2x^2+yz)(x^2+yz)\Leftrightarrow \sum x^2y^2\geq xyz(x+y+z)$$ (đúng)
Vậy BĐT được CM, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 03-08-2014 - 09:14
- phamquanglam và chardhdmovies thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hoangson2598
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
