Chủ đề này có 1 trả lời

[hokagefirst]

Bài toán 1: Giả sử  x₁ và x₂ là 2 nghiệm PT: x²-6x+1=0.

C/m $\forall$ giá trị  nguyên dương của n thì S_n=x₁ⁿ + x₂ⁿ  là số nguyên và không chia hết cho 5.

 

Bài toán 2: Giả sử  x₁ và x₂ là 2 nghiệm PT: x²+px-1=0 (p số nguyên lẻ).

C/m $\forall$ giá trị  nguyên dương của n thì S_n=x₁ⁿ+x₂ⁿ  và S_n+1=x₁ⁿ⁺¹+x₂ⁿ⁺¹ là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau.

[Kool LL]

Bài toán 1: Giả sử  x₁ và x₂ là 2 nghiệm PT: x²-6x+1=0.

C/m $\forall$ giá trị  nguyên dương của n thì S_n=x₁ⁿ + x₂ⁿ  là số nguyên và không chia hết cho 5.

 

Bài toán 2: Giả sử  x₁ và x₂ là 2 nghiệm PT: x²+px-1=0 (p số nguyên lẻ).

C/m $\forall$ giá trị  nguyên dương của n thì S_n=x₁ⁿ+x₂ⁿ  và S_n+1=x₁ⁿ⁺¹+x₂ⁿ⁺¹ là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau.

Bài 1:  Viét : $x_1+x_2=6\ ;\ x_1.x_2=1$

Ta có : $S_{n+1}=S_1.S_n-x_1.x_2.S_{n-1}=6.S_n-S_{n-1}$

Mà $S_0=2\in\mathbb{Z}^+\ ;\ S_1=6\in\mathbb{Z}^+$.

Bằng pp qui nạp suy ra $S_n\in\mathbb{Z}^+\ ,\ \forall n\in\mathbb{N}$.

 

Ta có : $S_{n+1}=6.S_n-S_{n-1}\equiv S_n-S_{n-1}\pmod{5}$

Mà $S_0=2\not\equiv 0\pmod{5}\ ;\ S_1=6\not\equiv 0\pmod{5}\ ;\ S_1-S_0\not\equiv 0\pmod{5}$.

Bằng pp qui nạp suy ra $S_{n+1}\equiv S_n-S_{n-1}\not\equiv 0\pmod{5}\ ,\ \forall n\in\mathbb{Z}^+$

Do đó $S_n\ \not\vdots 5,\ \forall n$