Chủ đề này có 3 trả lời

[skyfallblack2]

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n>1, số $A=n^{4}+4^{n}$ là 1 hợp số

2. Chứng minh rằng $A=2^{2^{2005}}+5$ không phải là số nguyên tố

3. Chứng minh rằng các số có dạng $A(n)=3^{2^{4n+1}}+2$ với n là số nguyên dương đều không phải là số nguyên tố

4. Cmr $A=2^{2^{2n}}+5\vdots 7$ với mọi n là số tự nhiên

5. Cmr $1924^{2003^{2004^{n}}}+1920\vdots 124$ với mọi n lớn hơn hoặc bằng 1

[Riann levil]

1.Xét 2 TH:

 - Nếu n chẵn: $\Rightarrow$ $n^{4}+4^{n}$. Mà $n^{4}+4^{n}$ > 2 $\Rightarrow$ $n^{4}+4^{n}$ là hợp số.

 - Nếu n lẻ : ĐẶt n= 2k+1 ( k $\epsilon \mathbb{N} , k > 0$ )

 Có $n^{4}+4^{n}=(n^{4}+2.2^{n}.n^{2}+4^{n})- 2^{n+1}.n^{2}=(n^{2}+2^{n})^{2}- 2^{n+1}.n^{2}$

Thay n= 2k+1 vào ta có $n^{4}+4^{n}= (n^{2}+2^{n})^{2}-2^{2k+2}.n^{2}= (n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n)(n^{2}+2^{n}+2^{k+1}.n)$

Xét $n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n$. thay n=2k+1 ta có:

$n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n= n^{2}+2^{2k+1}-2^{k+1}.n=n^{2}+2.4^{k}-2^{k+1}.n=(n^{2}+4^{k}-2^{k+1}.n)+4^{k}=(n-2^{k})^{2}+4^{k}\Rightarrow n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n > 1.$

Mà $n^{2}+2^{n}+2^{k+1}.n>1$ $\Rightarrow$ $n^{4}+4^{n}$ là hợp số.

Vậy bài toán đc cm

[Mikhail Leptchinski]

2. Chứng minh rằng $A=2^{2^{2005}}+5$ không phải là số nguyên tố

Xét chia cho 3

Ta có $2^{2^{2005}}=4^{2005} $\equiv 1(mod 3)$

  $5\equiv 2(mod 3)$               

suy ra $A\equiv 3(mod 3)$ hay A chia hết cho 3

nên A không phải là số nguyên tố

 

SR BẠN NHÉ BẠN NÀO ĐHV XÓA HỘ MÌNH BÀI NÀY VỚI MÌNH LÀM NHẦM RỒI

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungvu: 01-08-2014 - 16:59

[I Love MC]

4. Cmr $A=2^{2^{2n}}+5 \equiv 7$ với mọi n là số tự nhiên

Ta xét mod : 
$2^{2^{2n}}=2^{4^n}$ 
Nhận thấy $5 \equiv 5$ (mod 7) nên bây giờ ta cần chứng minh $2^{4^n} \equiv 2$ (mod 7)
Hay $2^{4^n}-2=2.(2^{4^n-1}-1)$ chia hết cho 7. 
Có $4^n-1$ chia hết cho 3 . 
Nên đặt $4^n-1=k.3$ khi đó $2^{4^n-1}=8^k-1$ chia hết cho 7 Suy ra đpcm.