Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{a^{n}b^{m}}{c^{n+m}}\geq \sum \frac{a}{b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 02-08-2014 - 18:56

1. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

2.Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có

$\frac{a^{n}b^{m}}{c^{n+m}}+\frac{b^{n}c^{m}}{a^{n+m}}+\frac{c^{n}a^{m}}{b^{n+m}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

 



#2 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 03-08-2014 - 16:30

..


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 03-08-2014 - 16:36

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#3 LuoiHocNhatLop

LuoiHocNhatLop

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk
  • Sở thích:Nghe nhạc + chơi game

Đã gửi 03-08-2014 - 17:22

2. Áp dụng bđt Holder ta có: 

$\sum \frac{a^m.b^n}{c^{m+n}}.\left ( \sum \frac{a}{b} \right )^{n} \geq \left ( \sum \frac{a}{c} \right )^{n+1}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^m.b^n}{c^{m+n}}\geq \sum \frac{a}{b}$



#4 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 04-08-2014 - 01:02

1. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

Đặt $(a;b;c)\rightarrow (\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})$. Thay vào thì BĐT cần chứng minh tương đương với

$\sum \frac{x^2y^2}{(x+y)^2}\geq \frac{3\sqrt{3(\sum xy)}(\sum xy)^2}{4(\sum x)^3}$

Áp dụng BĐT S-vác ta có

$\sum \frac{x^2y^2}{(x+y)^2}\geq \frac{(\sum xy)^2}{2(\sum x^2+\sum xy)}$

Như vậy ta cần chứng minh $\frac{1}{2(\sum x^2+\sum xy)}\geq \frac{3\sqrt{3(\sum xy)}}{4(\sum x)^3}\Leftrightarrow 4(\sum x)^6\geq 27(\sum xy)(\sum x^2+\sum xy)^2$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\frac{27}{2}.2(\sum xy).(\sum x^2+\sum xy)(\sum x^2+\sum xy)\leq \frac{27}{2}.\begin{pmatrix} \frac{2(\sum x)^2}{3} \end{pmatrix}^3=\frac{27}{2}.\frac{8(\sum x)^6}{27}=4(\sum x)^6$ (đpcm)

Như vậy BĐT được chứng minh xong

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c>0$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh