Chủ đề này có 2 trả lời

[skyfallblack2]

1. Tìm 3 chữ số tận cùng của số $26^{6^{2008}}$

2. Tìm dư của phép chia $3^{33^{32}}$ cho 7

[chanhquocnghiem]

1. Tìm 3 chữ số tận cùng của số $26^{6^{2008}}$

2. Tìm dư của phép chia $3^{33^{32}}$ cho 7

$1)$ Ta có :

$26^2\equiv 676(\mod1000)$ ; $26^3\equiv 576(\mod1000)$$\Rightarrow 26^8\equiv 576^2.676\equiv 576\equiv 26^3(\mod1000)$

$\Rightarrow 26^{m+5k}\equiv 26^m(\mod1000)$ với $k\in \mathbb{N}$ và $m\in \left \{ 3;4;5;6;7 \right \}$

Mặt khác $6^{2008}\equiv 1\left ( \mod5 \right )\Rightarrow 6^{2008}$ có dạng $6+5k$

Vậy $26^{6^{2008}}\equiv 26^6\equiv 776(\mod1000)\Rightarrow 3$ chữ số tận cùng cần tìm là $776$.

 

$2)$ Ta có :

$3^6\equiv 1\equiv 3^0(\mod7)\Rightarrow 3^{m+6k}\equiv 3^m(\mod7),\forall k\in \mathbb{N}$ và $m\in \left \{ 0;1;2;3;4;5 \right \}$

Mặt khác $33^{k}\equiv 3(\mod6),\forall k\in \mathbb{N}^*\Rightarrow 33^{32}$ có dạng $3+6k$

Vậy $3^{33^{32}}\equiv 3^3\equiv 6(\mod7)\Rightarrow$ số dư cần tìm là $6$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 03-08-2014 - 11:20

[skyfallblack2]

$1)$ Ta có :

$26^2\equiv 676(\mod1000)$ ; $26^3\equiv 576(\mod1000)$$\Rightarrow 26^8\equiv 576^2.676\equiv 576\equiv 26^3(\mod1000)$

$\Rightarrow 26^{m+5k}\equiv 26^m(\mod1000)$ với $k\in \mathbb{N}$ và $m\in \left \{ 3;4;5;6;7 \right \}$

Mặt khác $6^{2008}\equiv 1\left ( \mod5 \right )\Rightarrow 6^{2008}$ có dạng $6+5k$

Vậy $26^{6^{2008}}\equiv 26^6\equiv 776(\mod1000)\Rightarrow 3$ chữ số tận cùng cần tìm là $776$.

 

$2)$ Ta có :

$3^6\equiv 1\equiv 3^0\Rightarrow 3^{m+6k}\equiv 3^m(\mod7),\forall k\in \mathbb{N}$ và $m\in \left \{ 0;1;2;3;4;5 \right \}$

Mặt khác $33^{k}\equiv 3(\mod6),\forall k\in \mathbb{N}^*\Rightarrow 33^{32}$ có dạng $3+6k$

Vậy $3^{33^{32}}\equiv 3^3\equiv 6(\mod7)\Rightarrow$ số dư cần tìm là $6$.

Bạn còn cách nào tổng quát hơn không? Áp dụng cho mọi bài có dạng này.