Chủ đề này có 2 trả lời

[tieutuliti]

$$ cho tam giác ABC, CMR :$

$ \frac{sinA}{tan\frac{B}{2}} + \frac{sinB}{tan\frac{C}{2}} + \frac{sinC}{tan\frac{A}{2}} \geq \frac{9}{2} $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieutuliti: 02-08-2014 - 22:31

[Hoang Tung 126]

$ cho tam giác ABC, CMR :$

$ \frac{sinA}{tan\frac{C}{2}} + \frac{sinB}{tan\frac{C}{2}} + \frac{sinC}{tan\frac{A}{2}} \geq \frac{9}{2} $

Đặt $tan \frac{A}{2}=x,tan\frac{B}{2}=y,tan\frac{C}{2}=z= > sinA=\frac{2x}{x^2+1},sinB=\frac{2y}{y^2+1},tanC=\frac{2z}{z^2+1},xy+yz+xz=1$

BDT $< = > \sum \frac{\frac{2x}{x^2+1}}{z}=\sum \frac{2x}{z(x^2+1)}=\sum \frac{2x}{z(x+y)(x+z)}=\frac{\sum 2x^2y(y+z)}{xyz(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{9}{2}$

Đến đây áp dụng AM-GM $\sum x^2y^2+xyz\sum x\geq \frac{(\sum xy)^2}{3}=\frac{1}{3}$

                                            $xyz(x+y)(y+z)(x+z)=(xy+xz)(yz+yx)(zx+zy)\leq \frac{8(\sum xy)^3}{27}=\frac{8}{27}$

[tieutuliti]

Đặt $tan \frac{A}{2}=x,tan\frac{B}{2}=y,tan\frac{C}{2}=z= > sinA=\frac{2x}{x^2+1},sinB=\frac{2y}{y^2+1},tanC=\frac{2z}{z^2+1},xy+yz+xz=1$

BDT $< = > \sum \frac{\frac{2x}{x^2+1}}{z}=\sum \frac{2x}{z(x^2+1)}=\sum \frac{2x}{z(x+y)(x+z)}=\frac{\sum 2x^2y(y+z)}{xyz(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{9}{2}$

Đến đây áp dụng AM-GM $\sum x^2y^2+xyz\sum x\geq \frac{(\sum xy)^2}{3}=\frac{1}{3}$

                                            $xyz(x+y)(y+z)(x+z)=(xy+xz)(yz+yx)(zx+zy)\leq \frac{8(\sum xy)^3}{27}=\frac{8}{27}$

xl pn, mình nhầm đề, mình sửa đề ui, pn giải lại giùm mình đi