Cho 3 số thực dương $a,b,c$.
CMR: $\frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{4}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{4}}{c^{3}+a^{3}}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 03-08-2014 - 09:39
Cho 3 số thực dương $a,b,c$.
CMR: $\frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{4}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{4}}{c^{3}+a^{3}}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 03-08-2014 - 09:39
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Lời giải:
Nhân cả hai vế BĐT với $a^3+b^3+c^3$, ta được:
$$\left ( \frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3} \right )(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{2}$$
$$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+\sum \frac{a^4c^3}{a^3+b^3}\geq \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{2}$$
Áp dụng BĐT $\text{Cauchy-Schwarz}$
$$\sum \frac{a^4c^3}{a^3+b^3}=\sum \frac{a^4c^4}{c(a^3+b^3)}\geq \frac{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}{\sum c(a^3+b^3)}$$
Áp dụng BĐT $\text{AM-GM}$:
$$\frac{(\sum a^2b^2)^2}{\sum c(a^3+b^3)}+\frac{1}{4}\left ( \sum c(a^3+b^3) \right )\geq \sum a^2b^2$$
$$\Leftrightarrow \frac{(\sum a^2b^2)^2}{\sum c(a^3+b^3)}\geq \sum a^2b^2- \frac{1}{4}\left ( \sum c(a^3+b^3) \right )$$
Do đó, ta phải CM:
$$\sum a^4+\sum a^2b^2-\frac{1}{4}\left ( \sum c(a^3+b^3) \right )\geq \frac{(\sum a)(\sum a^3)}{2}$$
$$\Leftrightarrow 4\sum a^4+4\sum a^2b^2-\sum c(a^3+b^3)\geq 2\sum a^4+2\sum c(a^3+b^3)$$
$$\Leftrightarrow 2\sum a^4+4\sum a^2b^2\geq 3\sum c(a^3+b^3)=3\sum ab(a^2+b^2)$$
Phải CM BĐT sau, các BĐT còn lại CM tương tự:
$$a^4+b^4+4a^2b^2\geq 3ab(a^2+b^2)$$
$$\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-3ab(a^2+b^2)+2a^2b^2\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+b^2-ab)\geq 0\qquad(\text{True})$$
Cộng các BĐT vừa thiết lập, ta có $Q.E.D$, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ $\blacksquare$
__________
P/s: Ngồi xem Olympia, vừa cày bài này
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh