Chủ đề này có 1 trả lời

[phamquanglam]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$.

CMR: $\frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{4}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{4}}{c^{3}+a^{3}}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 03-08-2014 - 09:39

[HoangHungChelski]

Lời giải:
Nhân cả hai vế BĐT với $a^3+b^3+c^3$, ta được:
$$\left ( \frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3} \right )(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{2}$$
$$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+\sum \frac{a^4c^3}{a^3+b^3}\geq \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{2}$$
Áp dụng BĐT $\text{Cauchy-Schwarz}$
$$\sum \frac{a^4c^3}{a^3+b^3}=\sum \frac{a^4c^4}{c(a^3+b^3)}\geq \frac{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}{\sum c(a^3+b^3)}$$
Áp dụng BĐT $\text{AM-GM}$:
$$\frac{(\sum a^2b^2)^2}{\sum c(a^3+b^3)}+\frac{1}{4}\left ( \sum c(a^3+b^3) \right )\geq \sum a^2b^2$$
$$\Leftrightarrow \frac{(\sum a^2b^2)^2}{\sum c(a^3+b^3)}\geq \sum a^2b^2- \frac{1}{4}\left ( \sum c(a^3+b^3) \right )$$
Do đó, ta phải CM: 
$$\sum a^4+\sum a^2b^2-\frac{1}{4}\left ( \sum c(a^3+b^3) \right )\geq \frac{(\sum a)(\sum a^3)}{2}$$
$$\Leftrightarrow 4\sum a^4+4\sum a^2b^2-\sum c(a^3+b^3)\geq 2\sum a^4+2\sum c(a^3+b^3)$$
$$\Leftrightarrow 2\sum a^4+4\sum a^2b^2\geq 3\sum c(a^3+b^3)=3\sum ab(a^2+b^2)$$
Phải CM BĐT sau, các BĐT còn lại CM tương tự:
$$a^4+b^4+4a^2b^2\geq 3ab(a^2+b^2)$$
$$\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-3ab(a^2+b^2)+2a^2b^2\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+b^2-ab)\geq 0\qquad(\text{True})$$
Cộng các BĐT vừa thiết lập, ta có $Q.E.D$, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ $\blacksquare$
__________

P/s: Ngồi xem Olympia, vừa cày bài này