Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm số tự nhiên n>1 nhỏ nhất để $(n+1)(2n+1)\vdots 6$ và thương là 1 số chính phương

số lũy thừa số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Mary Huynh

Mary Huynh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Quảng Ngãi

Đã gửi 03-08-2014 - 18:17

1/ Tìm số tự nhiên n>1 nhỏ nhất để $(n+1)(2n+1)\vdots 6$ và thương là 1 số chính phương 

2/Cho a,b,c,d là số dương thỏa mãn $ab=cd$.CMR : $A= a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số với mọi $n\in N$
3/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để $n^{1988}+n^{1987}+7$là số nguyên tố  
4/ Cho số nguyên tố p , giả sử x,y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là số tự nhiên .

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mary Huynh: 03-08-2014 - 21:18

Giá trị thật sự của con người phải được xác định theo chiều hướng được tự do và không tùy thuộc bất cứ ai       :like  :like  :like 

                                                                                                                                          _________Albert Einstein________         

 My FB

 

 


#2 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 03-08-2014 - 19:21

2/Cho a,b,c,d là số dương thỏa mãn $ab=cd$.CMR : $A= a^{n}+a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số với mọi $n\in N$

3/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để $n^{1988}+n^{1987}+7$là số nguyên tố  

 

Bài $2$ , đặt $gcd(a,c)=t$ ta có $a=a_{1}t,c=c_{1}t$ với $gcd(a_{1},c_{1})=1$

Ta có $a_{1}b=c_{1}d$ nên $a_{1}b$ chia hết $c_{1}$ , lại có $gcd(a_{1},c_{1})=1$ nên $b$ chia hết $c_{1}$ nên $b=mc_{1}$

nên ta có $d=ma_{1}$ thế vào $A$ ta có

$A=t^{n}.a_{1}^{n}+m^{n}c_{1}^{n}+t^{n}c_{1}^{n}+m^{n}a_{1}^{n}=(t^{n}+m^{n})(c_{1}^{n}+a_{1}^{n})$ là hợp số 

Bài $3$ : Đề phải là $n^1988+n^1887+1$ chứ ??



#3 Mary Huynh

Mary Huynh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Quảng Ngãi

Đã gửi 03-08-2014 - 20:27

cho hỏi ngu chút ạ gcd là gì vậy ạ ??? =>> mấy chỗ kia không hiểu 


Giá trị thật sự của con người phải được xác định theo chiều hướng được tự do và không tùy thuộc bất cứ ai       :like  :like  :like 

                                                                                                                                          _________Albert Einstein________         

 My FB

 

 


#4 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 03-08-2014 - 20:34

cho hỏi ngu chút ạ gcd là gì vậy ạ ??? =>> mấy chỗ kia không hiểu 

Ước chung lớn nhất đó , mà bạn xem lại đề câu $3$ giùm mình !!



#5 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 03-08-2014 - 20:35

4/ Cho số nguyên tố p , giả sử x,y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là số tự nhiên .

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Đặt $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=k(k>0)=>x^{2}-kxy+py^{2}=0=>x=\frac{k\pm \sqrt{k^{2}-4p}}{2}y$

Nếu $k^{2}-4p$ không là số chính phương suy ra $\sqrt{k^{2}-4p}\in I=>\frac{x}{y}\in I$ (vô lý do x,y nguyên dương)

Vậy $k^{2}-4p$ là số chính phương nên đặt $k^{2}-4p=m^{2}(m>0)=>(k+m)(k-m)=4p$

Do p là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:

TH1: $\left\{\begin{matrix} k+m=2\\ k-m=2p \end{matrix}\right.$ suy ra p=1(vô lý)

TH2: $\left\{\begin{matrix} k+m=2p\\k-m=2 \end{matrix}\right.$$=>\begin{bmatrix} x=py\\ x=y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

TH3:$\left\{\begin{matrix} k+m=p\\k-m=4 \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} p=2\\ k+m=p \\ k-m=4 \end{matrix}\right.=>m=-1$ (loại)

TH4: $\left\{\begin{matrix} k+m=4\\ k-m=p \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} p=2\\ k+m=4 \\ k-m=2 \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} p=2\\\begin{bmatrix} x=2y\\x=y \end{bmatrix} \end{matrix}\right.=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=3=p+1$

Vậy $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$



#6 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 03-08-2014 - 20:48

 

3/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để $n^{1988}+n^{1987}+7$là số nguyên tố  
 

$3)$

Sửa đề tý nhỉ :)

 

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $n^{1988}+n^{1987}+1$là số nguyên tố  

Với $n=1$ ...

Với $n\geq 2$ có $n^{1988}+n^{1987}+1>n^2+n+1$

Mặt khác: $n^{1988}-n^2=n^2\left[(n^3)^{662}-(1^3)^{662}\right]$ chia hết cho $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$

$\Rightarrow n^{1988}-n^2$ chia hết cho $n^2+n+1$

Tương tự: $n^{1987}-n$ chia hết cho $n^2+n+1$

 

Do đó: $n^{1988}+n^{1987}+1=(n^{1988}-n^2)+(n^{1987}-n)+(n^2+n+1)$ chia hết cho $n^2+n+1$
Vậy $n^{1988}+n^{1987}+1$ là hợp số
Vậy chỉ có $n=1$ thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-08-2014 - 20:49


#7 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 03-08-2014 - 20:57

 

4/ Cho số nguyên tố p , giả sử x,y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là số tự nhiên .

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

đặt $(x;y)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=ad\\y=bd \\(a;b)=1 \end{matrix}\right.$

do đó $\frac{x^2+py^2}{xy}=\frac{a^2+pb^2}{ab}$

$\Rightarrow a^2\vdots b$

mà $(a;b)=1$ do đó $b=1$ tương tự $a=1$

do đó $\frac{x^2+py^2}{xy}=p+1$


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#8 Mary Huynh

Mary Huynh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Quảng Ngãi

Đã gửi 03-08-2014 - 21:08

 

$3)$

Sửa đề tý nhỉ :)

Với $n=1$ ...

Với $n\geq 2$ có $n^{1988}+n^{1987}+1>n^2+n+1$

Mặt khác: $n^{1988}-n^2=n^2\left[(n^3)^{662}-(1^3)^{662}\right]$ chia hết cho $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$

$\Rightarrow n^{1988}-n^2$ chia hết cho $n^2+n+1$

Tương tự: $n^{1987}-n$ chia hết cho $n^2+n+1$

 

Do đó: $n^{1988}+n^{1987}+1=(n^{1988}-n^2)+(n^{1987}-n)+(n^2+n+1)$ chia hết cho $n^2+n+1$
Vậy $n^{1988}+n^{1987}+1$ là hợp số
Vậy chỉ có $n=1$ thỏa mãn

 

 

 

$3)$

Sửa đề tý nhỉ :)

Với $n=1$ ...

Với $n\geq 2$ có $n^{1988}+n^{1987}+1>n^2+n+1$

Mặt khác: $n^{1988}-n^2=n^2\left[(n^3)^{662}-(1^3)^{662}\right]$ chia hết cho $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$

$\Rightarrow n^{1988}-n^2$ chia hết cho $n^2+n+1$

Tương tự: $n^{1987}-n$ chia hết cho $n^2+n+1$

 

Do đó: $n^{1988}+n^{1987}+1=(n^{1988}-n^2)+(n^{1987}-n)+(n^2+n+1)$ chia hết cho $n^2+n+1$
Vậy $n^{1988}+n^{1987}+1$ là hợp số
Vậy chỉ có $n=1$ thỏa mãn

 

ôi bạn kiểm tra lại đề bạn đã trúng đề :D nói thật giảng lại giúp đc không ạ bài 2 ấy  không hiẻu gì luôn :(


Giá trị thật sự của con người phải được xác định theo chiều hướng được tự do và không tùy thuộc bất cứ ai       :like  :like  :like 

                                                                                                                                          _________Albert Einstein________         

 My FB

 

 


#9 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 03-08-2014 - 21:13

ôi bạn kiểm tra lại đề bạn đã trúng đề :D nói thật giảng lại giúp đc không ạ bài 2 ấy  không hiẻu gì luôn :(

Bài $2$ bạn viết thừa một cái $a^n$ đó



#10 Long090501

Long090501

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-12-2016 - 22:36

Câu 1
(n+1)×(2n+1) chia hết cho 6 khi va chỉ khi n có dạng 6k+1 và 6k+5.
1/n=6k+1
(n+1)×(2n+1):6=(3k+1)×(4k+1) la số chính phương
(3k+1,4k+1)=1. Như vậy 3k+1,4k+1 la số chính phương lẻ
Suy ra k chia hết cho 8
(3k+1)+(4k+1)=7k+2,mà số chính phương chia 7 dư 0,1,2,4
Từ đây tìm dc nốt điều kiện của k(k chia hết cho 7 hoặc chia dư 2 và 5)
kết hợp với điều kiện k chia hết cho 8 sẽ ra k min thỏa mãn.
2/n=6k+5
Dễ dàng suy ra vô lí.

#11 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 12-12-2016 - 11:02

Đóng góp 1 cách cho bài 2.
Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $p=a^n +b^n +c^n +d^n$. Do $ab=cd$ nên ta viết lại
$p= a^n +b^n +c^n +\frac{a^n.b^n}{c^n} \\ \Leftrightarrow p.c^n=(c^n+a^n)(c^n+b^n)$
Nên 1 trong 2 số $c^n+a^n,c^n+b^n$ phải là bội của $p$ mà rõ ràng 2 số này $<p$ nên mâu thuẫn. Vậy ta có đpcm.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh