4/ Cho số nguyên tố p , giả sử x,y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là số tự nhiên .
Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$
Đặt $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=k(k>0)=>x^{2}-kxy+py^{2}=0=>x=\frac{k\pm \sqrt{k^{2}-4p}}{2}y$
Nếu $k^{2}-4p$ không là số chính phương suy ra $\sqrt{k^{2}-4p}\in I=>\frac{x}{y}\in I$ (vô lý do x,y nguyên dương)
Vậy $k^{2}-4p$ là số chính phương nên đặt $k^{2}-4p=m^{2}(m>0)=>(k+m)(k-m)=4p$
Do p là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:
TH1: $\left\{\begin{matrix} k+m=2\\ k-m=2p \end{matrix}\right.$ suy ra p=1(vô lý)
TH2: $\left\{\begin{matrix} k+m=2p\\k-m=2 \end{matrix}\right.$$=>\begin{bmatrix} x=py\\ x=y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$
TH3:$\left\{\begin{matrix} k+m=p\\k-m=4 \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} p=2\\ k+m=p \\ k-m=4 \end{matrix}\right.=>m=-1$ (loại)
TH4: $\left\{\begin{matrix} k+m=4\\ k-m=p \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} p=2\\ k+m=4 \\ k-m=2 \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} p=2\\\begin{bmatrix} x=2y\\x=y \end{bmatrix} \end{matrix}\right.=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=3=p+1$
Vậy $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$