Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số tự nhiên n>1 nhỏ nhất để $(n+1)(2n+1)\vdots 6$ và thương là 1 số chính phương

số lũy thừa số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Mary Huynh

Mary Huynh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

1/ Tìm số tự nhiên n>1 nhỏ nhất để $(n+1)(2n+1)\vdots 6$ và thương là 1 số chính phương 

2/Cho a,b,c,d là số dương thỏa mãn $ab=cd$.CMR : $A= a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số với mọi $n\in N$
3/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để $n^{1988}+n^{1987}+7$là số nguyên tố  
4/ Cho số nguyên tố p , giả sử x,y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là số tự nhiên .

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mary Huynh: 03-08-2014 - 21:18

Giá trị thật sự của con người phải được xác định theo chiều hướng được tự do và không tùy thuộc bất cứ ai       :like  :like  :like 

                                                                                                                                          _________Albert Einstein________         

 My FB

 

 


#2
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

2/Cho a,b,c,d là số dương thỏa mãn $ab=cd$.CMR : $A= a^{n}+a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số với mọi $n\in N$

3/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để $n^{1988}+n^{1987}+7$là số nguyên tố  

 

Bài $2$ , đặt $gcd(a,c)=t$ ta có $a=a_{1}t,c=c_{1}t$ với $gcd(a_{1},c_{1})=1$

Ta có $a_{1}b=c_{1}d$ nên $a_{1}b$ chia hết $c_{1}$ , lại có $gcd(a_{1},c_{1})=1$ nên $b$ chia hết $c_{1}$ nên $b=mc_{1}$

nên ta có $d=ma_{1}$ thế vào $A$ ta có

$A=t^{n}.a_{1}^{n}+m^{n}c_{1}^{n}+t^{n}c_{1}^{n}+m^{n}a_{1}^{n}=(t^{n}+m^{n})(c_{1}^{n}+a_{1}^{n})$ là hợp số 

Bài $3$ : Đề phải là $n^1988+n^1887+1$ chứ ??



#3
Mary Huynh

Mary Huynh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

cho hỏi ngu chút ạ gcd là gì vậy ạ ??? =>> mấy chỗ kia không hiểu 


Giá trị thật sự của con người phải được xác định theo chiều hướng được tự do và không tùy thuộc bất cứ ai       :like  :like  :like 

                                                                                                                                          _________Albert Einstein________         

 My FB

 

 


#4
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

cho hỏi ngu chút ạ gcd là gì vậy ạ ??? =>> mấy chỗ kia không hiểu 

Ước chung lớn nhất đó , mà bạn xem lại đề câu $3$ giùm mình !!



#5
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

4/ Cho số nguyên tố p , giả sử x,y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là số tự nhiên .

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Đặt $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=k(k>0)=>x^{2}-kxy+py^{2}=0=>x=\frac{k\pm \sqrt{k^{2}-4p}}{2}y$

Nếu $k^{2}-4p$ không là số chính phương suy ra $\sqrt{k^{2}-4p}\in I=>\frac{x}{y}\in I$ (vô lý do x,y nguyên dương)

Vậy $k^{2}-4p$ là số chính phương nên đặt $k^{2}-4p=m^{2}(m>0)=>(k+m)(k-m)=4p$

Do p là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:

TH1: $\left\{\begin{matrix} k+m=2\\ k-m=2p \end{matrix}\right.$ suy ra p=1(vô lý)

TH2: $\left\{\begin{matrix} k+m=2p\\k-m=2 \end{matrix}\right.$$=>\begin{bmatrix} x=py\\ x=y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

TH3:$\left\{\begin{matrix} k+m=p\\k-m=4 \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} p=2\\ k+m=p \\ k-m=4 \end{matrix}\right.=>m=-1$ (loại)

TH4: $\left\{\begin{matrix} k+m=4\\ k-m=p \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} p=2\\ k+m=4 \\ k-m=2 \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} p=2\\\begin{bmatrix} x=2y\\x=y \end{bmatrix} \end{matrix}\right.=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=3=p+1$

Vậy $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$



#6
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

3/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để $n^{1988}+n^{1987}+7$là số nguyên tố  
 

$3)$

Sửa đề tý nhỉ :)

 

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $n^{1988}+n^{1987}+1$là số nguyên tố  

Với $n=1$ ...

Với $n\geq 2$ có $n^{1988}+n^{1987}+1>n^2+n+1$

Mặt khác: $n^{1988}-n^2=n^2\left[(n^3)^{662}-(1^3)^{662}\right]$ chia hết cho $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$

$\Rightarrow n^{1988}-n^2$ chia hết cho $n^2+n+1$

Tương tự: $n^{1987}-n$ chia hết cho $n^2+n+1$

 

Do đó: $n^{1988}+n^{1987}+1=(n^{1988}-n^2)+(n^{1987}-n)+(n^2+n+1)$ chia hết cho $n^2+n+1$
Vậy $n^{1988}+n^{1987}+1$ là hợp số
Vậy chỉ có $n=1$ thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-08-2014 - 20:49


#7
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

 

4/ Cho số nguyên tố p , giả sử x,y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là số tự nhiên .

Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

đặt $(x;y)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=ad\\y=bd \\(a;b)=1 \end{matrix}\right.$

do đó $\frac{x^2+py^2}{xy}=\frac{a^2+pb^2}{ab}$

$\Rightarrow a^2\vdots b$

mà $(a;b)=1$ do đó $b=1$ tương tự $a=1$

do đó $\frac{x^2+py^2}{xy}=p+1$


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#8
Mary Huynh

Mary Huynh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

 

$3)$

Sửa đề tý nhỉ :)

Với $n=1$ ...

Với $n\geq 2$ có $n^{1988}+n^{1987}+1>n^2+n+1$

Mặt khác: $n^{1988}-n^2=n^2\left[(n^3)^{662}-(1^3)^{662}\right]$ chia hết cho $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$

$\Rightarrow n^{1988}-n^2$ chia hết cho $n^2+n+1$

Tương tự: $n^{1987}-n$ chia hết cho $n^2+n+1$

 

Do đó: $n^{1988}+n^{1987}+1=(n^{1988}-n^2)+(n^{1987}-n)+(n^2+n+1)$ chia hết cho $n^2+n+1$
Vậy $n^{1988}+n^{1987}+1$ là hợp số
Vậy chỉ có $n=1$ thỏa mãn

 

 

 

$3)$

Sửa đề tý nhỉ :)

Với $n=1$ ...

Với $n\geq 2$ có $n^{1988}+n^{1987}+1>n^2+n+1$

Mặt khác: $n^{1988}-n^2=n^2\left[(n^3)^{662}-(1^3)^{662}\right]$ chia hết cho $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$

$\Rightarrow n^{1988}-n^2$ chia hết cho $n^2+n+1$

Tương tự: $n^{1987}-n$ chia hết cho $n^2+n+1$

 

Do đó: $n^{1988}+n^{1987}+1=(n^{1988}-n^2)+(n^{1987}-n)+(n^2+n+1)$ chia hết cho $n^2+n+1$
Vậy $n^{1988}+n^{1987}+1$ là hợp số
Vậy chỉ có $n=1$ thỏa mãn

 

ôi bạn kiểm tra lại đề bạn đã trúng đề :D nói thật giảng lại giúp đc không ạ bài 2 ấy  không hiẻu gì luôn :(


Giá trị thật sự của con người phải được xác định theo chiều hướng được tự do và không tùy thuộc bất cứ ai       :like  :like  :like 

                                                                                                                                          _________Albert Einstein________         

 My FB

 

 


#9
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

ôi bạn kiểm tra lại đề bạn đã trúng đề :D nói thật giảng lại giúp đc không ạ bài 2 ấy  không hiẻu gì luôn :(

Bài $2$ bạn viết thừa một cái $a^n$ đó



#10
Long090501

Long090501

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
Câu 1
(n+1)×(2n+1) chia hết cho 6 khi va chỉ khi n có dạng 6k+1 và 6k+5.
1/n=6k+1
(n+1)×(2n+1):6=(3k+1)×(4k+1) la số chính phương
(3k+1,4k+1)=1. Như vậy 3k+1,4k+1 la số chính phương lẻ
Suy ra k chia hết cho 8
(3k+1)+(4k+1)=7k+2,mà số chính phương chia 7 dư 0,1,2,4
Từ đây tìm dc nốt điều kiện của k(k chia hết cho 7 hoặc chia dư 2 và 5)
kết hợp với điều kiện k chia hết cho 8 sẽ ra k min thỏa mãn.
2/n=6k+5
Dễ dàng suy ra vô lí.

#11
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
Đóng góp 1 cách cho bài 2.
Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $p=a^n +b^n +c^n +d^n$. Do $ab=cd$ nên ta viết lại
$p= a^n +b^n +c^n +\frac{a^n.b^n}{c^n} \\ \Leftrightarrow p.c^n=(c^n+a^n)(c^n+b^n)$
Nên 1 trong 2 số $c^n+a^n,c^n+b^n$ phải là bội của $p$ mà rõ ràng 2 số này $<p$ nên mâu thuẫn. Vậy ta có đpcm.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số lũy thừa, số nguyên tố

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh