Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

abc bài tập hình học đại số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 40 trả lời

#1 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 21-03-2006 - 21:49

Chả là tớ đang thử đọc cuốn Algebraic Geometry của Hartshorne nên cũng thử làm bài tập trong đó xem sao. Mời các bác tham gia cùng làm hoặc giải đáp giúp.

Bài 1.2 (Twisted cubic curve). Cho Y là tập các điểm {(t, t², t³) thuộc không gian affine A³ | t thuộc trường đóng đại số K}.
a) Chứng minh rằng Y là một affine algebraic variety có dimY= 1.
b) Tìm các generators cho I(Y) với I(Y) là ideal của Y, I(Y) ={ f thuộc A=K[x,y,z] | f((t,t²,t³)) = 0 với mọi (t,t²,t³) thuộc Y}.
c) Chứng minh affine coordinate ring A(Y)= A/I(Y) isomorphic với ring B[x].

Bài này trông có vẻ dễ- nhưng kết quả tớ tìm ra cho câu b) lại khác với đáp án tớ tìm được trên mạng. Nói chung hơi bị confuse một chút. Các bác có gì giúp đỡ với.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#2 canh_dieu

canh_dieu

    Trung sĩ

  • Founder
  • 150 Bài viết
  • Đến từ:United States
  • Sở thích:Phở, nhưng làm ơn đừng cho giá đỗ.

Đã gửi 22-03-2006 - 11:54

http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?t thì http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f có thể viết thành một linear combination của .
<span style='color:blue'>Thu đi để lại lá vàng
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>

#3 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 22-03-2006 - 21:15

Vâng em xin chào và cảm ơn bác canh_dieu đã giúp đỡ. Hôm qua lúc viết bài này lên xong em đi về nhà, trên đường về thì phát hiện ra chỗ nhầm trong tính toán của mình. Lúc đầu em cũng thấy phải có 3 generators. Nhưng thực ra I(Y) chỉ cần 2 generators là (x²-y) và (z-x³) thôi, chứ không cần tới 3. Ví dụ:

(xy-z) = -x(x²-y) + (z-x³)
(xz- y²) = (y+x²)(x²-y) + x(z-x³)

Tức là I(Y) = (x²-y, z-x³)
=> I(Y) :namtay I(Y1) =(x²-y) :D I(Y2)= {0}
=> heightI(Y)=2 và vì vậy dimY= dimA - heightI(Y) =1.
Thêm nữa dimY = dimA/I(Y) = dimA(Y)
=> dimA(Y) =1 => A(Y) isom. với ring K[x].

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 22-03-2006 - 21:19

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#4 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 24-03-2006 - 00:07

Mình có một câu hỏi (ngớ ngẩn) như sau:

Một affine algebraic set Y thuộc không gian A^n, với A= K[x1,....,xn] là một ring giao hoán, được định nghĩa như sau:

Y is an aff. alg. set if there is a subset T :D A such that: Y= Z(T), with
Z(T) := { p :D A^n | f(p)= 0 :P f :lol: T }

Y is irreducible, if Y can not be written as union of two proper closed subsets Y1, Y2 of Y.

Câu hỏi của mình là: Y nào thì không irreducible? Ví dụ: vì Y chẳng qua là một tập hợp các điểm. Ví dụ Y = { (0,1), (1,0), (1,1) } thuộc R²- vậy tại sao Y lại không thể biểu diễn bằng {(0,1), (1,0)} :Rightarrow {(1,1)} ? Có phải Y ở đây không thể hiểu đơn giản là một tập hợp gồm các phần tử rời rạc như vậy không?
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#5 Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
  • Đến từ:Nowhere
  • Sở thích:Em yêu

Đã gửi 24-03-2006 - 01:58

Anh có thể hiểu dễ dàng nhất là các đường cong đại số trên mặt phẳng. Ví dụ hai đường tròn cắt nhau chẳng hạn, không bkq bởi vì nó có thể tách ra....
PhDvn.org

#6 lavieestunemerde

lavieestunemerde

    Trung sĩ

  • Founder
  • 104 Bài viết
  • Sở thích:la vie est une merde... d'autant plus que le même malheur se répète pẻpétuellement

Đã gửi 24-03-2006 - 02:37

Câu hỏi của mình là: Y nào thì không irreducible? Ví dụ: vì Y chẳng qua là một tập hợp các điểm. Ví dụ Y = { (0,1), (1,0), (1,1) } thuộc R²- vậy tại sao Y lại không thể biểu diễn bằng {(0,1), (1,0)} :D {(1,1)} ? Có phải Y ở đây không thể hiểu đơn giản là một tập hợp gồm các phần tử rời rạc như vậy không?

Y này của bác đúng là không irreducible còn gì, vì mỗi tập 1 điểm đều đóng.

Tuy nhiên, với Y bất kỳ thì không kết luận được như vậy nữa vì định nghĩa yêu cầu Y là hợp 2 (hoặc là hữu hạn) tập đóng (chứ không thể nhiều tùy ý được :P ). Vì thế, không có gì mâu thuẫn ở đây cả.

#7 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 24-03-2006 - 22:05

Tớ vẫn chưa hiểu hiện tượng này. Ví dụ nếu Y = Z(f) với f(x,y) = x²+y²-1 thì Y là một tập hợp vô hạn các điểm (của đường tròn bán kính 1) - vì vô hạn nên không thể tách thành 2 tập hợp hữu hạn các điểm được- giống như R² là irreducible => trường hợp này OK.
Nhưng nếu Y=Z(T) với T= {f1, f2,.......,fn} thuộc R[x,y] với n đủ lớn, nhưng không vô hạn thì sao? Khi đó, có thể Y sẽ chỉ gồm một số điểm rời rạc như Y= {p1, p2, p3, ...., pk} với k hữu hạn và theo định nghĩa có vẻ đơn giản "dễ hiểu" kia trong cuốn của Hartshorne, thì tại sao lại không thể biểu diễn Y = {p1,p2,p3,...,pi} :infty {p(i+1),...pk} ? Vấn đề là tớ thấy có vẻ như không cần quan tâm đến sự liên hệ giữa T, T1, T2 thì vẫn biểu diễn Y như vậy được (tức reducible cho bất kỳ Y nào) và cách hiểu Y như là một tập hợp các điểm có vẻ không ổn.

À viết tới đây thì hình như tớ đã nhận ra vấn đề: nếu Y là tập hợp một số điểm hữu hạn và rời rạc, thì Y reducible. Còn nếu Y là một tập hợp các điểm liên tục (nên vô hạn)- ví dụ như một đoạn curve thì nó irreducible. Cả trường hợp nếu Y chỉ gồm 0 hoặc 1 điểm thì nó cũng irreducible. Không biết tớ đã hiểu đúng chưa hay vẫn sai?
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#8 lavieestunemerde

lavieestunemerde

    Trung sĩ

  • Founder
  • 104 Bài viết
  • Sở thích:la vie est une merde... d'autant plus que le même malheur se répète pẻpétuellement

Đã gửi 24-03-2006 - 23:59

Bình thường người ta chỉ xét k đóng đại số cho nên nó tự khắc vô hạn bác ạ :infty

#9 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 26-03-2006 - 20:35

Có lẽ không nên bắt đầu bằng Hartshone, cuốn đó phù hợp cho cách dùng ngôn ngữ hơn là phù hợp cho 1 Introductory. Đọc cuốn Introduction to commutative algebra and algebraic geometry của Kunz thì thích hợp hơn, hoặc nếu anh Politopy muốn đọc 1 cách geometrical thì cuốn của Mumford hoặc Harris thì tốt hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 26-03-2006 - 20:36


#10 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 26-03-2006 - 23:25

Không hiểu tớ có nhầm không, chứ việc K tự đóng không dẫn đến các tập đại số vô hạn. Ví dụ trong R²- một tập đại số Y :pe R² bất kỳ nào đó sẽ có 1 trong 4 kiểu sau:

1. Y = :P (rỗng).
2. Y = { một số điểm rời rạc p1,...,pm}. Tức là trường hợp Y = Z(f1,...,fk) mà tất cả các fi đều có chung đúng m nghiệm. Tức là Y reducible.
3. Y = {1 đoạn liên tục} :D {một số điểm rời rạc p1,...,pm}. Tức là trường hợp Y = Z(f1,....,fk) trong đó tất cả các fi chỉ có m nghiệm chung rời rạc và một đoạn curve liên tục chung nhau.
4. Y = một curve liên tục. Ví dụ nếu Y =Z(f) với f(x,y) = x² +y² -1 chẳng hạn. Tức là Y irreducible.


-------------

QC: ừ tớ đang đi tìm cuốn khác, đọc Hartshorne ngắn gọn nhưng mệt thật. Hè này cậu có việc gì làm không không thì lên nhà tớ chơi (Berlin nhiều trò đấy) và giúp đỡ tớ một thời gian. Tớ muốn học một ít các thứ về hình học phức và các loại Cohomology với toán lý nhưng đọc sách thì lâu quá. Còn về mấy thứ lằng nhằng mà tớ biết nếu cậu muốn tìm hiểu thêm thì tớ giới thiệu sơ sơ cho cậu nghe.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#11 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 27-03-2006 - 03:58

Tính irreducible ở đây có nghĩa là không thể phân tích thành 2 (hoặc hữu hạn nhiều) các tập con đại số thực sự. Phân tích thế nào thì phân tích nhưng tính đại số của các tập phải đảm bảo.

#12 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 27-03-2006 - 15:00

hihihi, em thì sẵn sàng, nhưng em còn xem bố trí thời gian thế nào đã, không biết có trùng thời gian thi không, có khả năng em sẽ phải thi hết cả hè mấy cái Diplomsprüfung . Ừ, lên Berlin thì vui rồi. Chắc anh em mình có thể trao đổi chút ít, chứ ngồi đọc suông cuốn tổ hợp của Stanley thấy cũng rắc rối phết. Huybrechts hiện đang ở Bonn, chắc cũng phải vài năm nữa mới chuyển, qua đó học ông ta Calabi-Yau geometry cũng được đấy. Em có gặp ông ta đôi lần, tính rất thoải mái, nói chuyện cởi mở, khả năng được nhận ở chỗ ông ý cũng dễ thôi, nhưng ông ta đòi hỏi cũng cao đấy. Đại khái cứ nắm vững cuốn complex geometry mà ông ý viết là ok thôi.
Anh Polytopie đã thử sức với cuốn Principles of AG của Griffiths & Harris chưa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 27-03-2006 - 15:02


#13 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 27-03-2006 - 23:13

Đây có bài này khó hơn- nhờ các bác giúp đỡ giải thích và mời các cậu chưa biết cùng làm.
Bài 2.6 trong cuốn Hartshorne.
Cho Y là một tập nghiệm xạ ảnh (Projective Variety) của không gian xạ ảnh P^n. Gọi S(Y) là homogeneous coordinate ring của Y. Chứng minh dim(S(Y)= dimY + 1.



----------------
QC:
À, mình cũng chưa bao giờ đọc cuốn Enumerative Combinatorics của Stanley, vì không đi đường ấy. Có cuốn Combinatorics and Commutative Algebra của Stanley thì có đọc qua một phần rồi- vì cuốn này chính là viết về liên quan giữa hình học tổ hợp và đại số+ hình học đại số. Nói chung về tổ hợp mình cũng chả biết gì ngoài mấy thứ kiến thức vỡ lòng. Cuốn của Griffiths mình chưa tìm được- trong thư viện trường có người mượn trước rồi. Nếu cậu lên được Berlin thì vui- anh em nói chuyện trao đổi với nhậu nhẹt đi chơi. Tớ cũng bợm nhậu đấy- rượu gì cũng có cũng biết. Về chuyện ông Huybrechts thì đợi xem ông ấy có lên Berlin không chứ tớ ở Berlin quen rồi, cũng ngại di chuyển- nhất là không muốn chia tay với Berliner Philharmonie với mấy cái nhà hát Oper ở đây. :D
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#14 canh_dieu

canh_dieu

    Trung sĩ

  • Founder
  • 150 Bài viết
  • Đến từ:United States
  • Sở thích:Phở, nhưng làm ơn đừng cho giá đỗ.

Đã gửi 29-03-2006 - 15:16

Bài này thì cứ lần theo hint đã cho sẵn ở đó, cộng với việc hiểu kỹ đẳng cấu của Prop. 2.2 chắc sẽ ra.
<span style='color:blue'>Thu đi để lại lá vàng
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>

#15 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 29-03-2006 - 15:58

Vâng vấn đề chính là ở chỗ em không hiểu cả cái hint ấy. Nó nói đến localized ring nhưng kiến thức tự học của em về đại số giao hoán lại chỉ nói đến local ring theo 1 điểm, chứ không theo một biến của một điểm. Nói chung hơi bị confuse một chút. Em đọc cái bài giải của bài ấy thì lại chạm đến cone .v.v. cho nên lại có vài chỗ ngắc ngứ. Chính vì thế em mới hỏi các bác để có gì em không hiểu em hỏi tiếp được rõ hơn.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#16 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 30-03-2006 - 09:46

Giả sử Y=V(I), tập không điểm của I trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P^n, trong đó I là idean nguyên tố thuấn nhất của http://dientuvietnam...1;X_0,...,X_n]. (Hình như trong Hartshone luôn giả thiết varieties là irreducible.) Gọi http://dientuvietnam...cgi?X=V^{aff}(I) tập không điểm của I trong không gian affine http://dientuvietnam...ex.cgi?k^{n 1}. Ta có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S(Y)=k&#091;X_0,...,X_n]/I= cordinate ring của X. Do vậy, dim X= dim S(Y).

Xét ánh xạ http://dientuvietnam...gi?(x_0,...,x_n) thành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_0:\cdots:x_n). Khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\pi là ánh xạ chính quy và mỗi thớ (fibre) của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\pi là một đường thẳng đi qua 0, nên có chiều 1. Áp dụng định lý về số chiều của thớ suy ra dim X-dim Y=1.

Vậy dim S(Y)=dim X +1.

(Định lý về số chiều của thớ suy ra rằng: , với mọi và dấu bằng xẩy ra trên một tập mở không rỗng của Y.)

Tuy nhiên, noproof thấy làm kiểu này là kiểu làm lấy được ;), đã sử dụng kết quả mạnh.

#17 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 30-03-2006 - 13:36

Cảm ơn bác noproof. Cái cách giải có dùng đến fibre này hay đấy. ;) Cái lời giải của một chú ở Harvard hay ở đâu đó cũng tương tự, dùng cone kiếc nhưng mà lại mắc phải cái lỗi là dùng kết quả ở trang sau để giải bài trang trước, cho nên em thắc mắc là không biết có cách nào dùng trực tiếp lý thuyết ở tiết nào để giải bài tiết ấy không thôi.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#18 canh_dieu

canh_dieu

    Trung sĩ

  • Founder
  • 150 Bài viết
  • Đến từ:United States
  • Sở thích:Phở, nhưng làm ơn đừng cho giá đỗ.

Đã gửi 30-03-2006 - 15:40

Về vấn đề địa phương hóa thì chú có thể hiểu như thế này. Kí hiệu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P^n, thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S(Y)=k&#091;x_0,...,x_n]/I(Y). Do vậy http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i (hay chính xác hơn, ảnh của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i trong vành thương) là một phần tử của http://dientuvietnam...imetex.cgi?x_i. Nó là tập các (ảnh của) các phần tử dạng http://dientuvietnam...i?f(x_0,...,x_n)/x_i^d. Tất nhiên nếu tất cả các tọa độ thứ http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?i của các điểm của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Y đều bằng 0, thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i triệt tiêu trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Y, tức là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=0, tức là chỉ xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_0 lên không gian affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A^n với hệ tọa độ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_1,...,y_n và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y_0 là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A(Y_0) đẳng cấu với vành con các phần tử của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S(Y)_{x_0} bao gồm các phần tử bậc 0. Có thể chứng minh điều này như sau.


Xét ánh xạ
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f triệt tiêu trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y_0 khi và chỉ khi có thể viết http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x_1/x_0,...,x_n/x_0)=u(x_0,...,x_n)/x_0^d với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u thuần nhất bậc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u triệt tiêu trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y. (Dùng định nghĩa của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi là ra ngay).

Do ảnh của ánh xạ trên chính là tập các phần tử bậc 0 của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S(Y)_{x_0} nên khẳng định của Hartshorne được chứng minh.
<span style='color:blue'>Thu đi để lại lá vàng
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>

#19 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 01-04-2006 - 21:53

Ok cảm ơn bác canhdieu, em nhận ra chỗ em hiểu sai rồi.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#20 Doraemon

Doraemon

    Mèo Ú

  • Hiệp sỹ
  • 239 Bài viết
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Lang thang, thơ thẩn, nếm vài món ngon...

Đã gửi 24-04-2006 - 14:56

abc bài này:
Chứng minh rằng tập không phải là một đa tạp affine.
Câu hỏi : Có cách nào nhận biết 1 tập là một đa tạp affine ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 24-04-2006 - 14:59

Thân lừa ưa cử tạ ! :)




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh