Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

abc bài tập hình học đại số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 40 trả lời

#21 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 26-04-2006 - 00:40

Mình bị vấn đề tiếng Việt. Đa tạp trong đề bài của Doraemon là Variety hay là Manifold?. Mình đoán là Variety vì định nghĩa của affine manifold khác. Nhưng không biết người ta có viết tắt không nên đành phải hỏi rõ.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#22 Doraemon

Doraemon

    Mèo Ú

  • Hiệp sỹ
  • 239 Bài viết
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Lang thang, thơ thẩn, nếm vài món ngon...

Đã gửi 26-04-2006 - 01:09

Variety bác à !
Thân lừa ưa cử tạ ! :)

#23 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 28-04-2006 - 17:06

X reducible bởi 2 tập open nên nó không phải là aff. variety mà là phần tử của Zariski-Topology trong
R². Không biết thế đủ chưa nhỉ?
Cách khác: vì nếu X là aff. variety thì nó phải là tập nghiệm của một số polynomials f1, ..., fm nào đó. Nhưng không có polynomial nào mà vanishes tại mọi điểm của R\{1} cả, trừ 0. Vậy X chỉ có thể là aff. variety của V(0). Nhưng V(0) = R², chứ không chỉ X. Nên X không phải là một aff. variety.
Để nhận biết một tập X có phải là aff. variety không thì tớ hiện giờ chỉ biết xét xem bằng 2 cách trên. Nếu định nghĩa aff. alg. variety là irreducible như Hartshorne (có các ông gọi aff. alg. variety có thể là cả các tập reducible- ví dụ trong sách của Hulek-) thì có thể xét Ideal tương ứng với nó xem có prime không.
Đó là những gì tớ biết sau chương 1 sách Hartshorne, các bác biết nhiều hơn xin chỉ bảo bọn em với.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#24 madness

madness

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 137 Bài viết

Đã gửi 28-04-2006 - 19:17

Em thấy có vài trang algebraic geometry có vẻ hay nên post lên đây, trang đầu tiên dựa vào cuốn của Hartshorne, có lẽ là có ích.

http://www.maths.bat...g/Maths001.html
http://math.stanford.edu/~vakil/216/
http://www.amherst.edu/~dacox/
http://www.math.cmu....hing/commalg05/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi madness: 28-04-2006 - 19:19


#25 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 03-05-2006 - 16:25

abc bài này:
Chứng minh rằng tập không phải là một đa tạp affine.
Câu hỏi : Có cách nào nhận biết 1 tập là một đa tạp affine ko?

Tớ không biết liệu tập X này có phải là một đa tạp (variety) không.

#26 toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

Đã gửi 03-05-2006 - 19:30

Theo định nghĩa thì một affine variety là một closed irreducible algebraic set mà? Tập X của bạn không closed algebraic nên không phải là variety. Còn một cách giải khác (không rõ là đúng không) là sử dụng dimension. Ta có :beat\in R^2\}" [/tex]. Y là affine variety vì Y là tập nghiệm của y-x=0. Nếu X là variety thì dim (X)<dim(Y). Nhưng ta có dim (X)=dim (Y)=1.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#27 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 05-05-2006 - 17:58

[quote name='toilachinhtoi' date='May 3 2006, 07:30 PM']Theo định nghĩa thì một affine variety là một closed irreducible algebraic set mà? Tập X của bạn không closed algebraic nên không phải là variety. Còn một cách giải khác (không rõ là đúng không) là sử dụng dimension. Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=A(\bar{k}), http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{k} bao đóng đại số của k.)

Tớ muốn hỏi toilachinhtoi dùng định nghĩa của đa tạp affine theo tài liệu nào được không ạ?

-Và Doraemon thì dùng định nghĩa nào của đa tạp affine vậy?

-Cuối cùng noproof vẫn thắc mắc là tập X của Doraemon có phải là đa tạp hay không (chưa nói gì đến đa tạp affine), nếu dùng định nghĩa như ở trong AG của J. Milne?

(Tài liệu AG= Algebraic Geometry của J. Milne có cho online trên mạng.)

#28 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 05-05-2006 - 20:21

@toilachinhtoi: Cách dùng Dim của bác đúng rồi. (suy ra từ kết quả: nếu X là proper subset of Y then dim(X)< dim(Y)).

@noproof: Y= { (x,x) | x ;) R } thì đóng (mà cũng mở), nhưng X = Y\{(1,1)} = {(- :P , 1)} :D {(1, :D )} (đúng ra là isomorph)., tức là giao của 2 tập mở, nên cũng mở. Định nghĩa chuẩn (đa số người dùng) của một affine algebraic variety là: "X thuộc A^n là một aff. alg. variety nếu tồn tại một irreducible closed algebraic set V(I) để X=V(I), I là Ideal thuộc ring K[x1,...xn], K đóng đại số". Vì thế X có thể là quasi-affine alg. Variety (tức là một open algebraic set) chứ không thể là affine alg. Variety được.
Cách sách mình đang đọc và đã tham khảo bao gồm: Hartshorne's Algebraic Geometry, Mumford's Red Book, Hulek's Introduction to algebraic Geometry (riêng trong cuốn này- Hulek định nghĩa aff. variety là cả các tập đại số irreducile và reducible- ông ấy cũng có chú thích sự khác biệt giữa cách định nghĩa của ông ấy với các sách khác), Shafarevich's Basic Algebraic Geometry 1.

À- mình vừa đọc thử bản Algebraic Geometry của Milne và biết tại sao noproof nhầm rồi. Nguyên nhân là thế này: cái ringed space (theo định nghĩa của Milne) bao gồm (V, O_{v}) với V là một topological space (tức là vừa đóng vừa mở) và O_{v} là sheaf của các tập mở trong V. Các tập closed algebraic sets X cũng chính là các topological spaces (Zariski-Topology)- cho nên (X,O_{x}) cũng chính là ringed space (hoặc nói ngược lại thì thuận logic hơn). Cho nên không có gì mâu thuẫn cả- vì 1-to-1 correspondence giữa 1 topo space bất kỳ và một closed alg. set ở đây là giữa 2 topological spaces với nhau (tức là các tập đóng), chứ không phải giữa một tập con mở của topo. space này với cả một topo. space (closed alg. set) khác. Định nghĩa của Milne cho một affine algebraic variety như vậy chính là giống Hulek như mình đã nói: tức là một tập closed algebraic set bất kỳ (irreducble hoặc reducible đều có thể gọi là affine variety) cũng có thể là một affine variety.

Nói chung kiểu viết của Milne mang ít nhiều truyền thống trừu tượng hóa từ đầu kiểu Grothendieck- cho nên hơi khó hiểu các khái niệm cơ bản. Bạn tìm mấy cuốn mình đang đọc ở trên để tìm hiểu thì hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 05-05-2006 - 22:22

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#29 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 08-05-2006 - 09:18

Cám ơn bác Polytopie!

Định nghĩa chuẩn (đa số người dùng) của một affine algebraic variety là: "X thuộc A^n là một aff. alg. variety nếu tồn tại một irreducible closed algebraic set V(I) để X=V(I), I là Ideal thuộc ring K[x1,...xn], K đóng đại số".


Hình như bác Polytopie và bác toilachinhtoi đồng ý là một tập đại số affine (đa tạp affine), nhưng noproof chưa tìm được I ideal nào thuộc K[x1,...,xn], K đóng đại số (có lẽ K=C, còn K=R thì lại không phải là định nghĩa "chuẩn" ở trên rồi) nào để Y=V(I), các bác chỉ ra hộ em với!

Hai quyển Hartshorne và Mumford đều giả thiết trường là đóng đại số thì phải và dù sao thì định nghĩa đa tạp affine cũng hơi khác một chút, ít nhất là thấy rõ ở Mumford. Một tập đóng đại số affine thì tất nhiên là affine variety, nhưng không chỉ có những tập như vậy, một tập mở của một đa tạp affine vẫn có thể là đa tạp affine. Trong bản cũ Introduction to Algebraic Geometry (bìa màu đỏ) của Mumford (chắc các khái niệm cơ bản thì không thay đổi giữa các version khác nhau):
Def 5(xoắn 4, Sheaves and affine varieties): An affine variety is a topological space X plus a sheaf of k-valued functions o_X on X which is isomorphic to an irreducible algebraic subset ò some k^n plus the sheaf just defined.

Trong quyển của Hartshorne thì công nhận là bác ấy, phần đầu tiên, luôn coi một đa tạp affine là một irreducible closed algebriac set. Tuy nhiên, phần sau, khoảng mấy xoắn sau, sau khi định nghĩa đa tạp xạ ảnh... Bác ấy có định nghĩa thế nào là một variety gồm affine variety, quasiaffine variety, projective variety, quasiprojective variety và morphisms giữa các variety. Và từ đó có khái niệm đẳng cấu giữa các variety. Giả sử một quasiaffine variety X lại đẳng cấu với một affine variety Y (khi coi chúng là varieties) thì tại sao chúng ta lại không xem X là một affine variety?

#30 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 08-05-2006 - 19:38

"An affine variety is a topological space X plus a sheaf of k-valued functions o_X on X which is isomorphic to an irreducible algebraic subset of some k^n plus the sheaf just defined."

Định nghĩa trên thì đúng rồi- vì 1 topo space luôn đóng (và mở). Ở đa người ta quan tâm đến tính đóng của nó. Nếu xét một open subset của một topo space thì không có định nghĩa trên. Lúc đó, người ta lại phải coi bản thân cái open subset ấy là một topo space mới và định nghĩa sheaf trên nó. Khi đó cái open subset ấy còn được gọi là local closed. Nhưng nói chung mấy chuyện này không liên quan gì đến bài của Doraemon.
Tóm lại, mình thấy trong mấy cuốn sách đó cách định nghĩa của họ rất đơn giản rõ ràng:đóng thì là affine alg. variety, còn mở thì là quasi-affine variety, không thể khác (còn chuyện có irreducible hay không là chuyện phụ). Đó là cách gọi chuẩn, còn những ai gọi khác đi thì chúng ta tự hiểu cách ký hiệu của người ta mà học tiếp thôi. Còn chuyện xét đến các mở rộng tổng quát hơn nữa như projective variety, shemes ... là những chuyện khác chúng ta chưa bàn đến mà.
Cụ thể là bài của Doraemon này có lẽ cậu ấy cũng theo cách định nghĩa chuẩn ấy. Tức là câu hỏi của cậu ấy là: liệu X ={(x,x) | x :geq R, x :int:limits_{a}^{b} 1} có phải là một affine alg. variety (tức irreducible closed algebraic set) không? Câu trở lời thì tớ với toilachinhtoi thử đưa ra rồi, đúng sai thế nào thì nhờ các bác học cao biết rõ hơn chứng nhận lại giúp.

Về tập Y ={ (x,x) | x :vec{AB} R} thì chúng ta có Ideal tương ứng là I = (y-x). Khi đó Y= V(I). Thật vậy: khi đó Y là tập hợp của mọi điểm thuộc R² sao cho y-x=0. => Y là tập hợp của mọi điểm có tọa độ y=x trong R².

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 08-05-2006 - 22:36

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#31 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 09-05-2006 - 08:15

Về tập Y ={ (x,x) | x :D R} thì chúng ta có Ideal tương ứng là I = (y-x). Khi đó Y= V(I). Thật vậy: khi đó Y là tập hợp của mọi điểm thuộc R² sao cho y-x=0. => Y là tập hợp của mọi điểm có tọa độ y=x trong R².

Tại sao V(I) lại không bằng {(x,x): X\in C} mà bắt buộc lại bằng {(x,x): X\in R}?

#32 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 09-05-2006 - 19:17

@noproof> Khi câu hỏi đặt ra là liệu X = {(x,x) :D R^2, x ;) R\{1} } như trong đề bài của Doraemon có phải là một variety không, người ta chỉ cần chọn ra một Ideal thỏa mãn điều kiện là các polynomials generated ra nó có nghiệm trong R. Mà khi đã đúng trong R thì tự nhiên cũng đúng trong C vì C là trường mở rộng của R. Vì thực tế là có thể có ti tỉ các Ideal (cả trong R hoặc C) thỏa mãn một Variety hữu hạn bất kỳ trong trường R (có ti tỉ polynomials trong cả R lẫn C chạy qua một số điểm hoặc curves trong R^2), nhưng rất có thể là cho trước một Ideal, hỏi có Variety nào tương ứng với nó không, thì câu trả lời sẽ là không. Ví dụ cho Ideal I = (x^2 + 1), hỏi là: liệu I có phải là Ideal tương ứng của một tập nghiệm X nào không? thì khi đó chúng ta mới cần kiểm tra xem điều kiện là các phần tử của X cần thuộc trường nào? Ví dụ nếu câu hỏi là liệu có X thuộc trường R không, thì câu trả lời là Không, còn hỏi là liệu có X thuộc C không, thì câu trả lời sẽ là có.

Định nghĩa về trường K cần phải đóng đối với mọi variety xét đến cũng vậy - nó có tính tương đối tùy trường hợp. Chính vì thế mà người ta mới không dùng đích xác C hay R mà viết là K trong cách sách.

Còn nếu đề bài là: liệu X={(x,x), x -_- C\{(1,0)} } có phải là một variety không, thì lại là một bài toán khác. Khi đó, câu trả lời cũng tương tự thôi: Không. Còn nếu Y=X :B) {(1,0)} trong C thì Y cũng là một Variety, Một Ideal tương ứng với Y khi đó cũng là y=x trong C. Điểm duy nhất cần chú ý là khi đó x= a+ib = (a,b) :rolleyes: R^2 - vậy nên để y=x thì y= a +ib = (a,b) thuộc R^2, vì C = R^2. Chu y la trong C thi 1 thuoc C nghia la 1 = (1,0) trong R^2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 09-05-2006 - 21:57

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#33 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 10-05-2006 - 10:23

Em vẫn thắc mắc về tập có là affine variety hay không? :)
Bác polytopie có thể viết rõ định nghĩa của affine variety được không? Nếu sử dụng mấy quyển như Mumford, Shafarevich, Hartshorne, Fulton là tôt nhất vì mấy quyển khác em không có. Có giả thiết gì về trường mình đang xét không? Cám ơn bác nhiều!

Định nghĩa về trường K cần phải đóng đối với mọi variety xét đến cũng vậy - nó có tính tương đối tùy trường hợp. Chính vì thế mà người ta mới không dùng đích xác C hay R mà viết là K trong cách sách.


Công nhận là có cái này, nhưng người ta chỉ thay trường C bằng một trường đóng đại số nói chung, mấy quyển sách ở trên. Trừ ở chapter 1 trong Fulton xét trường tùy ý, không giả thiết đóng đại số, nhưng cũng chỉ đặt tên affine algebraic set (không phải là affine algebraic variety) để chỉ tập nghiệm trong k của một họ các đa thức hệ số trong k. Rất tiếc,chuyển sang chapter 2: affine varieties, lại có ngay giả thiết k là đóng đại số. Và lúc này gọi irreducible affine algebraic (tập nghiệm trong một trường đóng đại số của một họ các đa thức) là một affine variety (bác với em thống nhất không tranh luận về việc irreducible nhe', vì chỉ là quy ước).

(Tuy rằng người ta vẫn có khải niệm thế nào là một đa tạp affine là xác định trên (defined over) một trường tùy ý.)

#34 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 10-05-2006 - 10:27

Em quote lại

X thuộc A^n là một aff. alg. variety nếu tồn tại một irreducible closed algebraic set V(I) để X=V(I), I là Ideal thuộc ring K[x1,...xn], K đóng đại số"


Nếu bác dùng định nghĩa trên thì cho em hỏi A^n của bác là gì, có phải A^n=K^n? (bác vẫn đang có giả thiết thiết K đóng đại số).

#35 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 10-05-2006 - 22:38

Nếu xét về mặt là tập hợp điểm, thì A^n chính là K^n, tuy nhiên có sự khác nhau ở chỗ K^n ở đây thực chất là vector space, gồm các vectors, còn A^n là Affine space - không gian của các điểm thuần túy. Có nghĩa là trong không gian A^n - các khái niệm như khoảng cách giữa 2 điểm không quan trọng - và người ta cũng không quan tâm đến việc đo đạc chúng, như vẫn làm trong không gian vector.

Mình đọc các sách- thấy Hartshorne là viết rõ ràng rành mạch cụ thể nhất. Nguyên nhân có lẽ là vì Hartshorne chỉ viết các định nghĩa, định lý, chứ không giải thích dài dòng- giúp cho bọn beginners như mình hiểu rõ các định nghĩa, định lý đó như các cuốn khác. Vì thế người ta hay bảo cuốn Hartshorne là cuốn Handbook của Alg.Geo. Vì thế mình viết lại theo Hartshorne luôn, cho mọi người đỡ thắc mắc. Chú ý là mình đang ở ìnternet cafe, viết lại theo trí nhớ nên có thể nhầm.

Định nghĩa: Cho K là một trường đóng đại số.
a) V(f1,...,fm) := {p :in A^n | f1(p)=f2(p)=....=fm(p)= 0}. Chú ý là V(f1,....,fm)= V(I(f1,....,fm)) với I là Ideal :in K[x1,....,xn] được generated bởi f1,...,fm :in K[x1,...,xn].
b) 1 tập hợp X in A^n được gọi là algebraic set nếu như tồn tại một Ideal I, sao cho X = V(I).
c) Một algebraic set X được gọi là irreducible, nếu như nó không thể được biểu diễn dưới dạng X = X1 :cup X2, với X1, X2 :in X. Nếu không, thì nó được gọi là reducible.
d) Một irreducible algebraic set thì được gọi là một affine (algebraic) variety.
e) Các algebraic sets trong A^n được gọi là các closed subsets trong Zariski-Topology của A^n. Chú ý là Zariski-Topology là một dạng weakest Topology - ví dụ chúng không có tính Hausdorff.
f) Các tập open subsets của Zariski-Topo trong A^n là các complements của các algebraic sets, được biểu diễn dưới dạng: Y = A^n\X, với X là một algebraic set. Khi đó các open subsets Y của một affine variety được gọi là các quasi-affine algebraic varieties.

------

Về câu trả lời liệu X = {(x,x) :in R² | x :neq 1} thì tớ đã trả lời theo cách hiểu của tớ rồi: nó không phải là một affine variety, cho dù có thể là quasi-affine variety. Bạn noproof đọc lại mấy bài trên, nếu thấy không đúng thì chứng minh lại hộ, chứ cứ hỏi đi hỏi lại tớ thấy cứ như là bạn không bao giờ đọc bài người khác trả lời ý. :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 11-05-2006 - 18:47

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#36 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 11-05-2006 - 11:26

Em và bác tạm thời hiểu khái niệm affine variety không qua có khái niệm bó mà cứ hiểu nó là tập nghiệm trong trường đóng đại số của một họ các đa thức.
Đúng là tập X không phải là đa tạp affine, thậm chí có thể nó không phải là quasiaffine, tập mở của một đa tạp affine.
Kết luận của bài toán chắc vẫn còn đúng nếu hiểu đa tạp affine như là một không gian vành đẳng cấu với một loại không gian vành đặc biệt hơn(...), nghĩa là không thể trang bị X thành một kg tô pô+ bó vành các C-đại số (C chứ không phải R vì R không đóng đại số nên noproof không biết khái niệm) sao cho X trở thành là một affine variety. Nhưng noproof không biết chứng minh thế nào, hơi lười :in.

Vì kết luận là đúng nên chỉ có thể đóng góp về lập luận của cách chứng minh.

[quote]Cách khác: vì nếu X là aff. variety thì nó phải là tập nghiệm của một số polynomials f1, ..., fm nào đó. Nhưng không có polynomial nào mà vanishes tại mọi điểm của R\{1} cả, trừ 0. Vậy X chỉ có thể là aff. variety của V(0). Nhưng V(0) = R², chứ không chỉ X. Nên X không phải là một aff. variety.
[/quote]Khằng định không có polynomial (trừ 0) nào mà vanishes tại mọi điểm của X (ý bác là X chứ không phải là R\{1} như trên chứ? nếu là R\{1} thì sai lập luận rồi :in )có vẻ không rõ lắm, vì đa thức của ta là nhiều biến (2 biến?).

Phát biểu lại đề bài được không bác: Cho K=C, cho tập X={(x,x): x thuộc R và khác 1}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\in A^n | f1(p)=f2(p)=....=fm(p)= 0}. Chú ý là V(f1,....,fm)= V(I(f1,....,fm)) với I là Ideal  K[x1,....,xn] được generated bởi f1,...,fm  K[x1,...,xn].
b) 1 tập hợp X in A^n được gọi là algebraic set nếu như tồn tại một Ideal I, sao cho X = V(I).[/quote]

(không thể lấy K=R vì R không là đóng đại số).

Xin lỗi bác vì tạo cảm giác cho bác là em không bao giờ đọc bài của bác, ngược lại ấy chứ, em thấy quan niệm về học toán môn toán của bác rất hay, em đọc gần hết rồi :in.

Chốt hạ, vì R không là đóng đại số nên noproof mới có thắc, còn nếu thay R bằng một trường đóng đại số nào đó thì chắc noproof chằng có thắc mắc nào hết :neq.

(Bác có đọc bài của em không vậy? :D )

#37 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 11-05-2006 - 19:20

Ok, nếu sửa đề bài thành K=C, X={(x,x) :in R² , x :namtay 1} có phải là một affine variety không thì kết quả cũng vậy thôi: Không. Để chứng minh thì mình nghĩa là không có khác gì cả. Vì X vẫn là tập mở- do nó là hợp của 2 tập mở trong R² :D C².
Còn nếu để tìm một polynomial f trong C[x,y] để V(f)= Y = X :cup {1} trong R², thì mình nghĩ cần có nhiều hơn 1 function f = x-y. Vì f vanishes trên một tập Z = { (x, y) :in C² , x = y = (a.b) :in R² } :supset Y, thì f vẫn cứ vanishes tại mọi điểm của Y. Tức là giờ cần tìm thêm các polynomials khác giao với f tại đúng các điểm của Y. Tuy nhiên mình ngại ngồi tìm lắm. Bạn nào có thời gian thì thử tìm hộ với. Mình nghĩ là có, vì một tập affine variety bao giờ cũng tương ứng với một Ideal được generated bởi hữu hạn các polynomials nào đó.

Còn một cách nữa có lẽ để chứng minh một tập X tương tự có phải là một affine variety không là kiểm tra xem nó có isomorph với một affine variety Y không (cũng có thể có trường hợp một quasi-aff variety isom với 1 affine variety, nhưng mình nghĩ X thì không phải trường hợp đó), tức là khi đó kiểm tra xem pullback của rational map giữa 2 tập X, Y, tức là một K-Algebra Morphism (hay contravarian functor) có phải là một Isomorphism không. Nhưng cách này thì phải ngồi nghĩ với viết nên mình ngại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 11-05-2006 - 21:00

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#38 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 12-05-2006 - 10:46

Chào bác polytopie! :namtay
[quote]Vì X vẫn là tập mở- do nó là hợp của 2 tập mở trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\inR^2 } http://dientuvietnam...tex.cgi?f_k(x,y)=a_{0,k}y^k+a_{1,k-1}xy^{k-1}+...+a_{k,0}x^k

Khi đó hệ số ứng với x^k của đa thức F là http://dientuvietnam....... a_{k,0}=0.

Viết lại http://dientuvietnam...tex.cgi?f_k(x,y) chia hết cho y-x, do đó f chia hết cho y-x
Vậy ideal I(Y) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\subset C[x,y] các đa thức triệt tiêu lại Y là ideal chính sinh bởi y-x, I=(y-x). Khi đó V(I)={(x,y): y-x=0} khác với Y. Và Y không là nghiệm của một họ đa thức nào trong C[x,y].

#39 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 12-05-2006 - 20:03

1. Zariski-Topo mà mình nói đến là R²- vì bản thân R² cũng là một affine variety nên nó cũng là một Zariski-Topology với các tập con mở và đóng của riêng nó.

2. Ừ, thật ra thì việc thử đề bài là X = {(x,x) :) R² | x :P 1} mà cần tìm Ideal tương ứng trong C[x,y] thì là dở hơi rồi. Nếu chặn tập nghiệm của nó là R, thì cũng chỉ có thể tìm các polynomial trong R[x,y] thỏa mãn X mà thôi. Cho nên nếu chặn X thuộc R² mà coi trường K = C thì không thể dùng mấy cái tương quan giữa Ideal và variety để giải câu hỏi đó được. Đó cũng là nguyên nhân chính mà người ta luôn chặn K là trường đóng- để các định lý chỉ ra sự tương quan giữa các varieties và các Ideals- như Nullstellensatz của Hilbert chẳng hạn- được đúng.
Nói chung, việc giải thích câu hỏi liệu một tập X trong một không gian K^n của một trường K nào đó có phải là một affine variety hay không có thể giải quyết bởi việc xét tính chất topo đóng mở của nó- tức là có thể không cần quan tâm đến mặt đại số của nó- thông qua Ideals, polynomials. Chỉ khi câu hỏi đặt ra là nếu cho trước một Ideal trong một trường K bất kỳ, thì liệu có affine variety nào tương ứng với nó không- thì việc K đóng hay mở đại số mới quyết định- vì chúng ta đang xét theo đại số.
Tóm lại là bài của Doraemon đã xong: X ;) R² như vậy không phải là một affine variety.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 12-05-2006 - 20:05

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#40 lavieestunemerde

lavieestunemerde

    Trung sĩ

  • Founder
  • 104 Bài viết
  • Sở thích:la vie est une merde... d'autant plus que le même malheur se répète pẻpétuellement

Đã gửi 07-06-2006 - 14:32

Có mấy bài hỏi mọi người luôn nhé (*)

1) Find an example of a commutative ring A that is not Noetherian with Noetherian topological space Spec A.

2) Give an example of a commutative ring A and an open set U Spec A that is not principal.

3) Prove that the functor Rings^op -> TopSpaces, A -> Spec A is not full nor faithful.

4) Let X be a quasi-projective varỉety such that the scheme X~ (với topological space là set các irreducible closed subsets của X,...) is affine. Prove that the varỉety X is affine.

Tạm thời thế đã, có gì sẽ hỏi thêm :geq




3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh