Cho 3 số thực dương $a,b,c$ và số thực $k\geq 2$.
CMR: $\sum \frac{a+b}{a+kb+c}\geq \frac{6}{k+2}$
Bài toán tổng quát này do bạn Kool LL nêu ra và mình thấy bài toán này khá thú vị nên thử giải quyết nó xem nào!!!
Đầu tiên ta hãy thử với $k$ cho trước.
1/
Với $k=7$ BĐT trở thành 1 bài toán vô cùng quen thuộc.
Cho 3 số thực dương $a,b,c$.
CMR: $\sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}$
Lời giải:
Từ điều phải chứng minh ta có điều tương đương sau:
$\sum (\frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{1}{12})\geq \frac{5}{12}\Leftrightarrow \sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq 5$
TH1:
Giả sử 3 số đều không âm.
Ta áp dụng Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq \frac{(\sum (11a+5b-c))^{2}}{\sum (11a+5b-c)(a+7b+c)}=\frac{225(a+b+c)^{2}}{45(a^{2}+b^{2}+c^{2})+90(ab+bc+ca)}\geq 5$
Vậy BĐT đã được chứng minh!
TH2:
Trong 3 số có ít nhất 1 số âm.
Giả sử số đó là $11b+5c-a$ âm.
Khi đó ta có:
$\frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{2}{3}=\frac{a-11b-2c}{3(a+7b+c)}> \frac{a-11b-5c}{3(a+7b+c)}\geq 0\Rightarrow \frac{a+b}{a+7b+c}> \frac{2}{3}\Rightarrow \sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}$
Vậy BĐT đã được chứng minh xong!
Vấn đề duy nhất ở đây là làm sao mà ta có thể giải thích khi trừ 2 vế của BĐT với $\frac{1}{12}$????????
Tất cả đều ko phải may mắn mà đều do có cách chọn của nó!
Điều này đã được anh Võ Quốc Bá Cẩn trình bày nhưng mà rất khó hiểu và xa với thực tế chọn được nghiệm ảo. Mình xin trình bày cách làm khác!!! Có lỗi gì mong các bạn thông cảm! 
Lời giải 2:
Giả sử ta chọn 1 số thực $\alpha > 0$ để lấy hiệu 2 vế ta được:
$\sum (\frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{1}{\alpha })\geq \frac{2}{3}-\frac{3}{\alpha }\Leftrightarrow \sum \frac{(\alpha -1)a+(\alpha -7)b-c}{a+7b+c}\geq \frac{2\alpha -9}{3}$
Giả sử các số hạng đều ko âm!
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
$\Rightarrow VT\geq \frac{\left [ \alpha -1)a+(\alpha -7)b-c \right ]^{2}}{(8\alpha -51)\sum a^{2}+(10\alpha -30)\sum ab}\geq \frac{2\alpha -9}{3}$
Nhận xét:
Với $\alpha$ là 1 số ko âm thì tử số của phân thức sẽ có dạng: $\beta (a+b+c)^{2}$
Mà $VP$ là 1 hằng sô nên bắt buộc mẫu số của phân thức phải có dạng: $\gamma (a+b+c)^{2}$
Nhìn vào phân thức thì để được như vậy, ta cần phải có:
$2(8\alpha -51)=10\alpha -30\Rightarrow \alpha =12$
Do vậy ta chọn thừa số để lấy hiệu 2 bên là $\frac{1}{12}$.
Sau đó tiến hành tiếp như trên!
Đấy là 1 cách để chọn thừa số phụ trong BĐT.
Sau đây là 1 số bài tập, để mai post tiếp giờ muộn quá rồi!!!!
Bài tập:
1/
Cho 3 số thực dương $a,b,c$. CMR: $\sum \frac{a+b}{a+6b+c}\geq \frac{3}{4}$
