Cho $x+y\leq z$. CMR:
$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$
Cho $x+y\leq z$. CMR:
$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$
Cho $x+y\leq z$. CMR:
$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$
Ta có:$A\geq \left [ \frac{(x+y)^2}{2} +z^2\right ]\left [ \frac{2}{xy} +\frac{1}{z^2}\right ]\geq \left [ \frac{(x+y)^2}{2} +z^2\right ]\left [ \frac{16}{(x+y)^2} +\frac{1}{z^2}\right ]$
Đặt $\frac{(x+y)^2}{z^2}=a$ vì $x+y\leq z$ nên $a\in \left [ 0;1 \right ]$
Ta có $A\geq (\frac{a}{2}+1)(\frac{8}{a}+1)=5+\frac{a}{2}+\frac{8}{a}=5+\frac{8}{a}+8a-\frac{15a}{2}\geq 5+16-\frac{15}{2}=\frac{27}{2}$$(a\leq 1)$
Dấu bằng xảy ra $a=1$ hay $x+y=z$
Bài toán này gần giống một bài toán trên báo toán học tuổi trẻ số 433
Cho $x+y\leq z,x,y,z>0$.Tìm min $A=(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungvu: 05-08-2014 - 21:14
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé* Ta có: $$(x1^2+x2^2+...+xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)\geq (x1y1+x2y2+...+xnyn)^2$$(Bất Đẳng Thức Bu -Nhi -A -Cốp -Xki)
* Áp Dụng Bất Đẳng Thức Bu-Nhi -A -Cốp -Xki, ta được:
$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq (x\frac{1}{x}+y\frac{1}{y}+z\frac{1}{z})^2=9$
* Mà 9 < $\frac{27}{2}$
=> Đpcm
-- Mỗi cách giải đều có 1 cái hay riêng --
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math is life: 05-08-2014 - 16:00
Bạn nhầm rồi..!! coi lại bài làm đi..!! mà $A\geq 9$ thì $A\geq \frac{27}{2}$ ..
Bạn xem lại bài đi. Nếu theo cách của bạn thì ta sẽ được $A\geq 9< \frac{27}{2}$ (?!)
Có lẽ là bạn nhầm khi sử dụng tính chất bắc cầu rồi.
Hơn nữa bạn đã sai ngay khi sử dụng BĐT $Bunyakovsky$: $(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq 9$ bởi vì đẳng thức của chứng minh này xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$. Điều này hoàn toàn trái với giả thiết: $x+y\leq z$ và ĐKXĐ $x; y; z$ khác 0 .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 05-08-2014 - 20:27
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
Cho $x+y\leq z$. CMR:
$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$
Cách khác:
Dựa vào giả thiết $x+y\le z$ và áp dụng BĐT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}$ suy ra
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2\ge \frac{1}{2}(\frac{4}{x+y})^2\ge \frac{8}{z^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{z^2}$
Từ đây ta có
$A=(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\frac{1}{z}^2)=3+(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+(\frac{x^2}{z^2}+\frac{z^2}{16x^2})+(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{16y^2})+\dfrac{15z^2}{16}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}) $
$\Rightarrow A \ge 3+2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{2}=\dfrac{27}{2}$ (Áp dụng BĐT AM-GM)
Ta có đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{z}{2}$
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh