Chủ đề này có 4 trả lời

[anhswt4857]

Cho $x+y\leq z$. CMR:

$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$

[Mikhail Leptchinski]

Cho $x+y\leq z$. CMR:

$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$

Ta có:$A\geq \left [ \frac{(x+y)^2}{2} +z^2\right ]\left [ \frac{2}{xy} +\frac{1}{z^2}\right ]\geq \left [ \frac{(x+y)^2}{2} +z^2\right ]\left [ \frac{16}{(x+y)^2} +\frac{1}{z^2}\right ]$

Đặt $\frac{(x+y)^2}{z^2}=a$ vì $x+y\leq z$ nên $a\in \left [ 0;1 \right ]$

Ta có $A\geq (\frac{a}{2}+1)(\frac{8}{a}+1)=5+\frac{a}{2}+\frac{8}{a}=5+\frac{8}{a}+8a-\frac{15a}{2}\geq 5+16-\frac{15}{2}=\frac{27}{2}$$(a\leq 1)$

Dấu bằng xảy ra $a=1$ hay $x+y=z$

 

Bài toán này gần giống một bài toán trên báo toán học tuổi trẻ số 433

Cho $x+y\leq z,x,y,z>0$.Tìm min $A=(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungvu: 05-08-2014 - 21:14

[math is life]

* Ta có: $$(x1^2+x2^2+...+xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)\geq (x1y1+x2y2+...+xnyn)^2$$(Bất Đẳng Thức Bu -Nhi -A -Cốp -Xki)

 

* Áp Dụng Bất Đẳng Thức Bu-Nhi -A -Cốp -Xki, ta được:

 

 

$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq (x\frac{1}{x}+y\frac{1}{y}+z\frac{1}{z})^2=9$

 

 

* Mà 9 < $\frac{27}{2}$

 

=> Đpcm

 

-- Mỗi cách giải đều có 1 cái hay riêng --       

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math is life: 05-08-2014 - 16:00

[shinichikudo201]

Bạn nhầm rồi..!! coi lại bài làm đi..!! mà $A\geq 9$ thì $A\geq \frac{27}{2}$ ..

Bạn xem lại bài đi. Nếu theo cách của bạn thì ta sẽ được $A\geq 9< \frac{27}{2}$ (?!)

Có lẽ là bạn nhầm khi sử dụng tính chất bắc cầu rồi.

Hơn nữa bạn đã sai ngay khi sử dụng BĐT $Bunyakovsky$: $(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq 9$ bởi vì đẳng thức của chứng minh này xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$. Điều này hoàn toàn trái với giả thiết: $x+y\leq z$ và ĐKXĐ $x; y; z$ khác 0 .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 05-08-2014 - 20:27

[Yagami Raito]

Cho $x+y\leq z$. CMR:

$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$

Cách khác: 

Dựa vào giả thiết $x+y\le z$ và áp dụng BĐT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}$ suy ra 

 $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2\ge \frac{1}{2}(\frac{4}{x+y})^2\ge \frac{8}{z^2}$

$\Rightarrow \frac{1}{z^2}$

Từ đây ta có

$A=(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\frac{1}{z}^2)=3+(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+(\frac{x^2}{z^2}+\frac{z^2}{16x^2})+(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{16y^2})+\dfrac{15z^2}{16}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}) $

$\Rightarrow A \ge 3+2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{2}=\dfrac{27}{2}$ (Áp dụng BĐT AM-GM)

Ta có đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{z}{2}$