Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2927 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 04-08-2014 - 18:12

Cho dãy số dương $\{u_n\},n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện

1. $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$.
2. Tồn tại hằng số $M>0$ sao cho $\sum\limits_{k=1}^n u_k\le M \forall n\in \mathbb{N}$.

Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 04-09-2015 - 05:58

Cho dãy số dương $\{u_n\},n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện

1. $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$.
2. Tồn tại hằng số $M>0$ sao cho $\sum\limits_{k=1}^n u_k\le M \forall n\in \mathbb{N}$.

Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0$

Trước hết ta chứng minh $\lim_{n\to +\infty}u_n=0$

Lấy số $\alpha> 0$ nhỏ tùy ý.

Giả sử trong dãy số dương $\{u_n\}$ có vô số số hạng không nhỏ hơn $\alpha$

$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} u_k=+\infty$ trái với giả thiết (điều kiện 2 trong đề bài)

Vậy trong dãy số $\{u_n\}$ chỉ có hữu hạn số hạng không nhỏ hơn $\alpha$ và có vô số số hạng nhỏ hơn $\alpha$.Mà $\alpha$ là số dương nhỏ tùy ý nên suy ra $\lim_{n\to +\infty}u_n=0$

Từ đó, dãy $\{n.u_n\}$ hoặc có giới hạn bằng $0$ ; hoặc có giới hạn bằng số dương $a$ ; hoặc dần đến dương vô cực.

+ Giả sử dãy $\{n.u_n\}$ dần đến dương vô cực :

   Lấy số $b>M$ tùy ý.Khi đó tồn tại số tự nhiên $N_0$ sao cho $n.u_n>b$, với mọi $n>N_0$.

   Mặt khác, xét số $\frac{pb}{N_0+p-1}$ (với $p$ là số tự nhiên).Dễ thấy $\frac{pb}{N_0+p-1}>M$ nếu $p$ đủ lớn.

   Vậy với $p$ đủ lớn thì ta có :

  $u_1+u_2+...+u_{N_0}+...+u_{N_0+p-1}>\frac{b}{N_o}+\frac{b}{N_0+1}+...+\frac{b}{N_0+p-1}>\frac{pb}{N_0+p-1}>M$ trái với giả thiết trong đề bài.Vậy TH này loại.

 

+ Giả sử dãy $\{n.u_n\}$ có giới hạn bằng số dương $a$ :

   Điều đó có nghĩa là khi $n$ tiến đến vô cực thì số hạng $u_n$ càng gần với $\frac{a}{n}$.Mà $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{n}$ là chuỗi phân kỳ nên $\lim_{n\to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} u_k$ sẽ tiến đến vô cực, trái với giả thiết của đề bài.Vậy TH này cũng loại.

 

Như vậy chỉ còn một khả năng là $\lim_{n\to +\infty}n.u_n=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-09-2015 - 16:29

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 04-09-2015 - 23:16

 

1. $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$.

 

Trước hết ta chứng minh $\lim_{n\to +\infty}u_n=0$

Kiên huynh và @chanhquocnghiem lão ca cho hỏi chút hình như trong bài giải của @chanhquocnghiem lão huynh chưa xét đến điều kiện 1 nhỉ.



#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 05-09-2015 - 07:32

 

 
 

 

Kiên huynh và @chanhquocnghiem lão ca cho hỏi chút hình như trong bài giải của @chanhquocnghiem lão huynh chưa xét đến điều kiện 1 nhỉ.

 

Nếu dãy số ${u_n}$ đã cho không thỏa mãn ĐK 1, tức là có thể xảy ra trường hợp $u_{n+1}>u_n+u_n^2=u_n(1+u_n)>u_n$ với mọi $n$.Khi đó dãy số ${u_n}$ đang xét là dãy số tăng, làm sao thỏa mãn ĐK 2.

Cũng giống như phát biểu sau :

Nếu một đứa trẻ thỏa mãn đồng thời 2 các điều kiện :

1. Có cha và mẹ ruột đều là liệt sỹ.

2. Cả cha và mẹ ruột đều đã qua đời.

thì đứa trẻ đó là trẻ mồ côi.

 

Trong phát biểu đó, ĐK 1 là thừa, vì nếu ĐK 1 không thỏa mãn thì có thể ĐK 2 cũng không thỏa mãn.

Tóm lại, nếu dãy số không thỏa mãn ĐK 1, thì có thể nó sẽ không thỏa mãn ĐK 2.Do đó, trong đề bài, ĐK 1 có hoặc không có cũng chẳng sao  :D

 

======================

@ Lzu Tao :

  Có lẽ bạn nhầm, phủ định của mệnh đề " $u_{n+1}\leqslant u_n+u_n^2,\forall n$ " chính là mệnh đề " có ít nhất 1 giá trị của $n$ sao cho $u_{n+1}>u_n+u_n^2$ " (tức là $u_{n+1}>u_n+u_n^2$ tại một số giá trị của $n$ hoặc tại mọi giá trị của $n$)

  Theo mình thì :

a) Nếu ${u_n}$ thỏa mãn cả 2 ĐK :

   + $u_{n+1}\leqslant u_n+u_n^2,\forall n$

   + Tồn tại hằng số $M>0$ sao cho $\sum_{k=1}^{n}u_k\leqslant M,\forall n\in \mathbb{N}$

   thì $\lim_{n \to +\infty}n.u_n=0$

   

 

b) Còn nếu ${u_n}$ thỏa mãn cả 2 ĐK :

   + Có ít nhất 1 giá trị của $n$ sao cho $u_{n+1}>u_n+u_n^2$

   + Tồn tại hằng số $M>0$ sao cho $\sum_{k=1}^{n}u_k\leqslant M,\forall n\in \mathbb{N}$

   thì $\lim_{n \to +\infty}n.u_n$ cũng bằng $0$

 

  (Do đó ĐK 1 là không cần thiết)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 05-09-2015 - 12:40

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 05-09-2015 - 11:18

Nếu dãy số ${u_n}$ đã cho không thỏa mãn ĐK 1, tức là có thể xảy ra trường hợp $u_{n+1}>u_n+u_n^2=u_n(1+u_n)>u_n$ với mọi $n$.Khi đó dãy số ${u_n}$ đang xét là dãy số tăng, làm sao thỏa mãn ĐK 2.

Nhưng mình nghĩ điều này không đúng. Bởi vì phủ định của mệnh đề $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$ với mọi $n$ là mệnh đề tồn tại $n$ sao cho $u_{n+1}\gt u_n+u_n^2$. Do đó mệnh đề $u_{n+1}\gt u_n+u_n^2$ với mọi $n$ không phải là mệnh đề phủ định của mệnh đề $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$ với mọi $n$

________________________

 

P/s: Xin lỗi vì gõ sai :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 05-09-2015 - 23:09


#6 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1535 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 07-06-2016 - 10:19

Bài này khó, ngay cả lời giải trong sách trình bày dưới đây thấy cũng có vẻ không tự nhiên, rất mong có cao thủ nào đó xuất hiện và đưa một lời giải khác tốt hơn.

 

Lời giải:

 

Ta xét các dãy phụ : $ j_n = \sum_{k=1}^{n} u_n$

 

$w_n = j_{2n} - j_{n}$

 

Do dãy $(j_n)$ tăng và bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Khi đó, từ định nghĩa của $w_n$, khi cho $n$ tiến dần đến vô cùng thì ta thấy ngay $ \lim w_n =0$

 

Ta sẽ đi chứng minh $ \lim (2n+1)u_{2n+1} = 0  (*)$  trường hợp $ \lim 2nu_{2n} = 0$ ta chứng minh hòan toàn tương tự để từ định nghĩa dãy con ta có thể suy thẳng ra kết quả bài toán.

 

Thật vậy, giả sử $u_t = \min \{ u_{2n} ; u_{2n-1};...; u_{n+1} \}$

Suy ra: $ u_t \le \frac{w_n}{n}$

Ta có: $ \frac{u_{2n+1}}{u_t} \le \prod_{k=t}^{2n} (1+u_k) \le \prod_{k=n+1}^{2n} (1+u_k) < \prod_{k=n+1}^{2n} e^{u_k}$

 

Suy ra $  \frac{u_{2n+1}}{u_t} < e^{w_n} \implies 0< u_{2n+1}  < \frac{w_n}{n} e^{w_n}$

 

Suy ra $ 0< (2n+1) u_{2n+1} < \left( 2+ \frac{1}{n} \right) w_n e^{w_n}$

 

Mà $ \lim w_n =0$, suy ra $ \lim \left( 2+ \frac{1}{n} \right) w_n e^{w_n} =0$

 

Nên theo định lý " giới hạn kẹp", ta có: $\lim (2n+1) u_{2n+1} =0$

 

Trường hợp $ \lim  2n u_{2n} =0$ ta chứng minh hoàn toàn tương tự

 

Nên theo lập luận ở trên thì bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 09-06-2016 - 12:00

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh