Chủ đề này có 11 trả lời

[Mikhail Leptchinski]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

 

 

 

[Riann levil]

Bài này áp dụng phương pháp cần cù bù thông minh bạn ạ:

$\sum \frac{a}{a+b}=3-\sum \frac{b}{a+b}$

Ta sẽ cm $\sum \frac{b}{a+b}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{\sum b(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 0 (đúng)$

$\Rightarrow đpcm$

Nhưng mình thấy BĐT này rất lạ.Bạn xem lại đi 

[Mikhail Leptchinski]

Bài này áp dụng phương pháp cần cù bù thông minh bạn ạ:

$\sum \frac{a}{a+b}=3-\sum \frac{b}{a+b}$

Ta sẽ cm $\sum \frac{b}{a+b}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{\sum b(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 0 (đúng)$

$\Rightarrow đpcm$

Nhưng mình thấy BĐT này rất lạ.Bạn xem lại đi 

 

Sai nhé bạn dấu bằng xảy ra khi nào

[gatoanhoc1998]

 

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

 

[Dinh Xuan Hung]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$

có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.

Dấu bang xảy ra khi a=b=c

[Riann levil]

đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$

có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.

Dấu bang xảy ra khi a=b=c

$\sum \frac{a}{b+c}$ mà bạn

[Riann levil]

 

 

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

 

Giả thiết có cho đâu> còn TH $c\geq b\geq a, a\geq c\geq b,...$ thjì sao?

[Mikhail Leptchinski]

đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$

có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow 

 

 

 

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

 

 

\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.

Dấu bang xảy ra khi a=b=c

 

Bài toán không dễ đâu bạn nhé 

[Cetus]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

 

Sử dụng phép biến đổi tương đương ta có BĐT sau:

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$ thì BĐT trên đúng khi ta đưa về được: $(a-b)(b-c)(a-c)\geq 0$

[datmc07061999]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Mình có bình luận thế này bài toán này sai hoàn toàn nếu ko có đk của $a,b,c$ về tổng hoặc tích.

Giả sử: $a=3;b=4;c=5$ hoặc $a=5,b=6,c=7$ và .v.v... bài toán sai hoàn toàn

Muốn bài toán đúng thì mình có đk thế này $a+b+c=1$. 

Các bạn thử làm xem.

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datmc07061999: 05-08-2014 - 16:56

[shinichikudo201]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

 

Sử dụng phép biến đổi tương đương ta có BĐT sau:

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$ thì BĐT trên đúng khi ta đưa về được: $(a-b)(b-c)(a-c)\geq 0$

 

đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$

có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.

Dấu bang xảy ra khi a=b=c

 

 

 

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

 

 

Bài này áp dụng phương pháp cần cù bù thông minh bạn ạ:

$\sum \frac{a}{a+b}=3-\sum \frac{b}{a+b}$

Ta sẽ cm $\sum \frac{b}{a+b}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{\sum b(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 0 (đúng)$

$\Rightarrow đpcm$

Nhưng mình thấy BĐT này rất lạ.Bạn xem lại đi 

Mình không biết các bạn chứng minh kiểu gì, nhưng rõ ràng BĐT sai như bạn datms07061999 đã chỉ ra.

[gatoanhoc1998]

Giả thiết có cho đâu> còn TH $c\geq b\geq a, a\geq c\geq b,...$ thjì sao?

Tất nhiên là người ra đề cho thiếu gt rồi.

Vì nếu mình không cho gt như vậy thì cũng phải có các gt tương tự để biến tích

(a-b)(b-c)(a-c) dương nếu không thì k thoả