Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5$
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5$
bài này dấu bằng xảy ra khi $a=0;b=1;c=2$ và các hoán vị thì phải mà $a;b;c>0$ thì sao mà làm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 07-08-2014 - 06:54
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5$
Áp dụng AM-GM ta có
$a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leqslant \frac{a(b+1+b^2-b+1)}{2}=\frac{a(b^2+2)}{2}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$\sum \frac{a(b^2+2)}{2}\leqslant 5$
$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 4$, sử dụng $a+b+c=3$
BĐT trên luôn đúng khi sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau
$ ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}=4\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 4$
Vậy ta có đccm
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và hoán vị
$ ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}=4\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 4$
Dấu = xảy ra khi nào và bạn cm bđt này nhá. cái này đâu quen thuộc
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dshung1997: 16-08-2014 - 21:47
Ai tìm cho tôi công thức của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,999999.... với
Áp dụng AM-GM ta có
$a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leqslant \frac{a(b+1+b^2-b+1)}{2}=\frac{a(b^2+2)}{2}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$\sum \frac{a(b^2+2)}{2}\leqslant 5$
$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 4$, sử dụng $a+b+c=3$
BĐT trên luôn đúng khi sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau
$ ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}=4\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 4$
Vậy ta có đccm
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và hoán vị
Em nghĩ dấu = ở BĐT cuối xảy ra thì các bất đẳng thức trước đó ta đánh giá cũng phải đảm bảo đk dấu = chứ nhỉ? D
Trong khi dấu "=" ở BĐT AM-GM chỉ xảy ra khi biến =0 hoặc 2 chứ đâu có =1 ạ?
Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh