Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

India TST 2014

india tst

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 06-08-2014 - 15:05

India IMO Team Selection Test 2014

 

Ngày 1: 07/5/2014

 

Bài 1. Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ với hệ số nguyên sao cho $f(n)$ và $f(2^n)$ là các nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên $n$.

Bài 2. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hãy tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất với tính chất sau:
Với mọi số thực $a_1,...,a_d$ sao cho $a_1+a_2+...+a_d=n$ và $0\le a_i\le 1$ $(i=\bar{1,d})$, ta luôn có thể chia $d$ số trên thành $k$ nhóm, và tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.

Bài 3. Bắt đầu với bộ ba $(1007\sqrt{2}, 2014\sqrt{2} ,1007\sqrt{14})$, ta định nghĩa dãy các bộ ba $(x_n, y_n, z_n)$ theo công thức:
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n(-x_n+y_n+z_n)}, y_{n+1}=\sqrt{y_n(x_n-y_n+z_n)},z_{n+1}=\sqrt{z_n(x_n+y_n-z_n)}\forall n\ge 0$$
Chứng minh rằng các dãy số $x_n,y_n,z_n$ luôn hội tụ và hãy tìm các điểm hội tụ đó.
 
 

Ngày 2: 08/5/2014

Bài 1. Cho $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$, $Q$ là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp vời đường thẳng $AC$, $E$ là trung điểm của $AC$ và $K$ là trực tâm của tam giác $BIC$. Chứng minh rằng đường thẳng $KQ$ vuông góc với đường thẳng $IE$.

Bài 2. Với $j=\bar{1,3}$, ta lấy các số thực khác $0$ $x_j ,y_j$ và lấy $v_j=x_j+y_j$. Giả sử rằng các điều kiện sau đều được thỏa mãn:
$ x_{1}x_{2}x_{3}=-y_{1}y_{2}y_{3} ;$
$x_1^2 + x_2^2+ x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2 ;$

$v_1,v_2,v_3$ thỏa mãn các bất đẳng thức trong tam giác và
$v_1^2,v_2^2,v_3^2$ thỏa mãn các bất đẳng thức trong tam giác,

Chứng minh rằng đúng một trong các số $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ là số âm.

Bài 3. Cho $r$ là một số nguyên dương, lấy $a_0,a_1,...$ là một dãy vô hạn các số thực. Giả sử rằng với mọi số nguyên không âm $m$ và $s$, tồn tại một số nguyên dương $n\in \left[ m+1,m+s\right]$ sao cho:
$$a_m+a_{m+1}+...+a_{m+s}=a_{n}+a_{n+1}+...+a_{n+s}$$
Chứng minh rằng dãy trên tuần hoàn (Hay nói cách khác, ta có thể tìm được số $p>0$ nào đó sao cho $a_{n+p}=a_n\forall n\ge 0$)

 

 
Ngày 3: 14/5/2014

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với $AB\neq AC$ và $\angle A\neq 60^{\circ}, 120^{\circ}$. Lấy $D$ là một điểm trên đường thẳng $AC$ khác $C$. giả sử rằng các tâm ngoại tiếp và các trực tâm của tam giác $ABC$ và $ABD$ cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằng $\angle ABD=\angle ACB$.

Bài 2. Tồn tại hay không một dãy vô hạn các chữ số khác $0$ (các số có giá trị từ $1$ tới $9$) $a_1, a_2,a_3...$ và một số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên $k> N$, số $ \overline{a_k a_{k-1}\cdots a_1 } $ là một một số chính phương.

Bài 3. Có bao nhiêu cách mà ta có thể xếp các quân xe lên một bàn cờ $8\times 8$ sao cho mỗi cột và mỗi hàng đều có ít nhất $1$ quân xe?
 
 

Ngày 4: 15/5/2014

Bài 1. Chứng minh rằng trong bất kỳ một tập hợp gồm $2000$ số thực phân biệt, ta luôn tìm được $2$ cặp số $a>b$ và $c>d$, với $a\neq c$ hay $b\neq d$, sao cho:
$$\left| \frac{a-b}{c-d}-1\right| <\frac{1}{1000}$$.

Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $x^{x+y}=y^{3x}$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $\angle B>\angle C$. Lấy $P$ và $Q$ là 2 điểm phân biệt trên đường thẳng $AC$ sao cho $\angle PBA=\angle QBA=\angle ACB$ và $A$ nằm giữa $P$ và $C$. Giả sử rằng tồn tại một điểm $D$ trên đoạn thẳng $BQ$ sao cho $PD=PB$. Lấy $R$ là một giao điểm khác $A$ của tia $AD$ với đường tròn $(ABC)$. Chứng minh rằng $QB=QR$.
 

--- Hết ---


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 06-08-2014 - 16:43

^^~

#2 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 06-08-2014 - 18:28

Bài hình ngày 2 thực chất chỉ là bài toán sau...

Tam giác $ABC$. $(I)$ là đường tròn nội tiếp, $H$ là trực tâm $\triangle IBC$, $D,E$ là trung điểm $AB, AC$ thì $DE$ là đường đối cực của $H$ .

Chứng minh dễ dàng bằng các hệ thức lượng trong tam giác.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 14-08-2014 - 16:43

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#3 mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán ,THPT chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Sherlock Holmes, người đàn ông chưa bao giờ sống và không bao giờ chết.

Đã gửi 06-08-2014 - 20:56

 

India IMO Team Selection Test 2014

 

 

Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $x^{x+y}=y^{3x}$.

 

--- Hết ---

 

Chém bài số

Đặt (x;y)=d

ta có : $d^{x+y}.x_{0}^{x+y}=y_{0}^{3x}.d^{3x}$

Nếu 2x=y thì mấy bác tự giải :)

NẾu 2x khác y

TH1: 2x<y

$d^{y-2x}.x_{0}^{x+y}=y_{0}^{3x}$

Do tính nguyên tố cùng nhau nên $(x_{0}^{k};y_{0}^{m})=1\Rightarrow x_{0}=1$

nên $d^{y-2}=y_{0}^{3}\Rightarrow 3\vdots y-2$

TH2 tương đương


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh