Chủ đề này có 6 trả lời

[deathavailable]

ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X

MÔN: TOÁN 10

Câu 1. (4 điểm) Giải bất phương trình

$\sqrt{7x^2-7x-9}-\sqrt{x^2-x-6} <2\sqrt{2x+1}$

 

Câu 2. (4 điểm) Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp có giao điểm $P$ của $2$ đường phân giác các góc $\widehat{BAD},\widehat{BCD}$ nằm trên  đường chéo $BD$. Gọi $Q$ là trung điểm của $BD$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AD$ cắt $AQ$ tại $K$ nằm ngoài tứ giác $ABCD$. Chứng minh tam giác $CDK$ cân.

 

Câu 3. (4 điểm) Cho 3 số thực dương $x,y$ và $z$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện $xy+yz+zx=3xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 

$S=\frac{y^2}{x(y^2+1)}+\frac{z^2}{y(z^2+1)}+\frac{x^2}{z(x^2+1)}$

 

Câu 4. (4 điểm) Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi $1$ trong $2$ màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại tam giác mà $3$ đỉnh và trọng tâm cùng màu.

 

Câu 5. (4 điểm) Chứng minh rằng tồn tại $16$ số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong $16$ số đó có thể biểu diễn dưới dạng $|7x^2+9xy-5y^2| (x,y \in R)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 10-08-2014 - 08:12

[Hoang Tung 126]

 

ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X

MÔN: TOÁN 10

Câu 1. (4 điểm) Giải bất phương trình

$\sqrt{7x^2-7x-9}-\sqrt{x^2-x-6} <2\sqrt{2x+1}$

Bài 1:BPT $< = > \sqrt{7x^2-7x-9}< \sqrt{x^2-x-6}+2\sqrt{2x+1}< = > 7x^2-7x-9< x^2-x-6+8x+4+4\sqrt{(2x+1)(x-3)(x+2)}< = > 6x^2-14x-7< 4\sqrt{(2x^2-5x-3)(x+2)}< = > 3(2x^2-5x-3)+(x+2)< 4\sqrt{(2x^2-5x-3)(x+2)}< = > (\sqrt{2x^2-5x-3}-\sqrt{x+2})(3\sqrt{2x^2-5x-3}-\sqrt{x+2})< 0$

Đến đây coi như xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 09-08-2014 - 07:00

[Hoang Tung 126]

 

ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X

MÔN: TOÁN 10

 

Câu 3. (4 điểm) Cho 3 số thực dương $x,y$ và $z$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện $xy+yz+zx=3xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 

$S=\frac{y^2}{x(y^2+1)}+\frac{z^2}{y(z^2+1)}+\frac{x^2}{z(x^2+1)}$

 

 

 

 

 Ta có $\sum \frac{y^2}{x(y^2+1)}=\sum \frac{y^2+1-1}{x(y^2+1)}=\sum \frac{1}{x}-\sum \frac{1}{x(y^2+1)}\geq \sum \frac{1}{x}-\sum \frac{1}{2xy}\geq \sum \frac{1}{x}-\frac{1}{6}(\sum \frac{1}{x})^2=\frac{\sum xy}{xyz}-\frac{1}{6}(\frac{\sum xy}{xyz})^2=3-\frac{1}{6}.3^2=\frac{3}{2}$

Dấu =xảy ra khi $x=y=z=1$

[thukilop]

 

ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X

MÔN: TOÁN 10

 

Câu 3. (4 điểm) Cho 3 số thực dương $x,y$ và $z$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện $xy+yz+zx=3xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 

$S=\frac{y^2}{x(y^2+1)}+\frac{z^2}{y(z^2+1)}+\frac{x^2}{z(x^2+1)}$

 

• Từ gt: $xy+yz+zx=3xyz$ tương đương $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$
• Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$ thì 

$S=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}$

 

Dùng kĩ thuật AM-GM ngược dấu ta có: 

$\sum \frac{a}{1+b^2}=\sum(a-\frac{ab^2}{1+b^2})\geq \sum (a-\frac{ab^2}{2b})=(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca) \geq 3- \frac{1}{6}(a+b+c)^2=\frac{3}{2}$

 

Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$

p/s: bài toán tương tự (câu II): http://diendantoanho...-bắc-quảng-nam/

[chardhdmovies]

Câu 4:
Lấy 5 điểm tuỳ ý sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng thì theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 3 điểm cùng màu. Giả sử 3 điểm đó là 3 điểm $A, B, C$ cùng màu đỏ thì $\Delta ABC$ có 3 đỉnh cùng màu đỏ.
Kẻ 3 trung tuyến $AD, BE, CF$ cắt nhau tại trọng tâm $G$. Trên tia đối các tia $AD, BE, CF$ lấy các điểm $A'$, $B'$, $C'$ sao cho:
$\frac{AD}{AA'}=\frac{BE}{BB'}=\frac{CF}{CC'}=\frac{1}{2}$.
Dễ dàng chứng minh được rằng $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có cùng trọng tâm $G$ và $\Delta A'BC, \Delta AB'C, \Delta ABC'$ lần lượt nhận $A, B, C$ làm trọng tâm. Xét các khả năng:

- $G$ màu đỏ thì $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$ cùng màu đỏ.
- $G$ màu xanh:
+ Nếu 3 điểm $A', B', C'$ cùng màu xanh thì $\Delta A'B'C'$ có trọng tâm $G$ cùng màu xanh.
+ Nếu 3 điểm $A', B', C'$ có ít nhất 1 điểm màu đỏ. Giả sử $A'$ đỏ thì $\Delta A'BC$ có trọng tâm $A$ cùng màu đỏ.
$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 10-08-2014 - 11:32

[deathavailable]

Q là điểm gì vậy bạn 

ĐÃ fix. Cám ơn nhé )

[thukilop]

 

 

Câu 2. (4 điểm) Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp có giao điểm $P$ của $2$ đường phân giác các góc $\widehat{BAD},\widehat{BCD}$ nằm trên  đường chéo $BD$. Gọi $Q$ là trung điểm của $BD$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AD$ cắt $AQ$ tại $K$ nằm ngoài tứ giác $ABCD$. Chứng minh tam giác $CDK$ cân.

Trước hết có bổ đề quen thuộc sau:

$\boxed{\text{Bổ đề}}$ Cho tứ giác ABCD điều hòa có 2 đường chéo cắt nhau tại N. M trung điểm AC. Khi đó ta có $\angle ADM = \angle BDC$

(chứng minh: dùng tính chất đường đối trung)

                                   

Trở lại bài toán:

Gọi E là giao điểm 2 phân giác $\angle BAD$ và $\angle BCD$ ta có:  

$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{CD}$ suy ra ABCD là tứ giác điều hòa

                                            

Khi đó: $AD // CK$ suy ra:

$\angle QKC = \angle AKC =\angle DAQ =\angle BAC (\text{theo bổ đề}) = \angle BDC =\angle QDC$ => $(C,Q,D,F)$ đồng viên. 

Do đó:

$\angle CKD=\angle BQC = \angle QDC + \angle QCD =\angle BDC + \angle ACB =\angle BDC + \angle ADB =\angle ADC$ (1)

Gọi F là giao điểm CK với (O), dễ thấy ACFD hình thang cho nên: $\angle ADC =\angle DAF =\angle DCF=\angle DCK$ (2)

(1) và (2) Suy ra $\angle DKC = \angle DCK$ => tam giác DCK cân tại D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 14-08-2014 - 16:13