ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X
MÔN: TOÁN 10
Câu 1. (4 điểm) Giải bất phương trình
$\sqrt{7x^2-7x-9}-\sqrt{x^2-x-6} <2\sqrt{2x+1}$
Câu 2. (4 điểm) Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp có giao điểm $P$ của $2$ đường phân giác các góc $\widehat{BAD},\widehat{BCD}$ nằm trên đường chéo $BD$. Gọi $Q$ là trung điểm của $BD$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AD$ cắt $AQ$ tại $K$ nằm ngoài tứ giác $ABCD$. Chứng minh tam giác $CDK$ cân.
Câu 3. (4 điểm) Cho 3 số thực dương $x,y$ và $z$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện $xy+yz+zx=3xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$S=\frac{y^2}{x(y^2+1)}+\frac{z^2}{y(z^2+1)}+\frac{x^2}{z(x^2+1)}$
Câu 4. (4 điểm) Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi $1$ trong $2$ màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại tam giác mà $3$ đỉnh và trọng tâm cùng màu.
Câu 5. (4 điểm) Chứng minh rằng tồn tại $16$ số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong $16$ số đó có thể biểu diễn dưới dạng $|7x^2+9xy-5y^2| (x,y \in R)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 10-08-2014 - 08:12