Cho a,b,c là các số thực dương. Cm $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Cho a,b,c là các số thực dương. Cm $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
#1
Posted 09-08-2014 - 09:13
Có thể tiến chậm, nhưng đừng bao giờ bước lùi – Abraham Lincoln
PVTT
#2
Posted 09-08-2014 - 09:24
Cho a,b,c là các số thực dương. Cm $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Theo Schur:
$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (*)
Biến đổi theo $p=a+b+c$ $q=ab+bc+ca$ $r=abc$ ta có
$(*)\Leftrightarrow p^3+9r\ge 4pq$ (1)
Còn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow p^2-2q+\frac{9r}{p}\ge 2q$
$\Leftrightarrow p^2+\frac{9r}{p}\ge 4q$ (2)
Dễ thấy (1) chính là (2)
Issac Newton
#3
Posted 09-08-2014 - 09:25
Cách 2 : Cách 2:Đặt $\sqrt[3]{a}=x, \sqrt[3]{b}=y, \sqrt[3]{c}=z$.
BĐT cần chứng minh trở thành $x^6+y^6+z^6+2x^3y^3z^3+1\geq 2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)$.
Theo BĐT Schur:$x^6+y^6+z^6+3x^2y^2z^2\geq \sum x^2y^2(x^2+y^2)\geq 2\sum x^3y^3$ (BĐT AM-GM).
Mặt khác, theo BĐT AM-GM:$2x^3y^3z^3+1=x^3y^3z^3+x^3y^3z^3+1\geq 3x^2y^2z^2$. Cộng 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm.
Issac Newton
#4
Posted 09-08-2014 - 09:45
Cho a,b,c là các số thực dương. Cm $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Dùng Điriclet
Trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ luôn tồn tại 2 số cùng dấu
Giả sử $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\geq 0\Rightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow 2abc+2c\geq 2ac+2bc$
Ta lập các BĐT khác $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$
$c^{2}+1\geq 2c$
Cộng vào thu được $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2\left ( ab+bc+ca \right )$
Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng 1!
- ducbau007 likes this
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#5
Posted 28-03-2021 - 17:33
Giả sử c = min{a,b,c}
Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$ và $t=\sqrt{ab}\geqslant c$
Có: $f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geqslant 0$
$\Rightarrow f(a,b,c)\geqslant f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c) =f(t,t,c)$
Ta cần chứng minh f(t,t,c) không âm
Thật vậy: $f(t,t,c)=c^2+2t^2c-4tc+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Edited by KietLW9, 28-03-2021 - 17:35.
- alexander123 likes this
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users