Chủ đề này có 4 trả lời

[skyfallblack2]

Cho a,b,c là các số thực dương. Cm $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

[Trang Luong]

Cho a,b,c là các số thực dương. Cm $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Theo Schur:

$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$  (*)

Biến đổi theo $p=a+b+c$ $q=ab+bc+ca$ $r=abc$ ta có

$(*)\Leftrightarrow p^3+9r\ge 4pq$   (1)

Còn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow p^2-2q+\frac{9r}{p}\ge 2q$

$\Leftrightarrow p^2+\frac{9r}{p}\ge 4q$   (2)

Dễ thấy (1) chính là (2)

[Trang Luong]

Cách 2 : Cách 2:Đặt $\sqrt[3]{a}=x, \sqrt[3]{b}=y, \sqrt[3]{c}=z$.

BĐT cần chứng minh trở thành $x^6+y^6+z^6+2x^3y^3z^3+1\geq 2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)$.

Theo BĐT Schur:$x^6+y^6+z^6+3x^2y^2z^2\geq \sum x^2y^2(x^2+y^2)\geq 2\sum x^3y^3$ (BĐT AM-GM).

Mặt khác, theo BĐT AM-GM:$2x^3y^3z^3+1=x^3y^3z^3+x^3y^3z^3+1\geq 3x^2y^2z^2$. Cộng 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm.

[Phuong Thu Quoc]

Cho a,b,c là các số thực dương. Cm $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Dùng Điriclet

Trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ luôn tồn tại 2 số cùng dấu

Giả sử $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\geq 0\Rightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow 2abc+2c\geq 2ac+2bc$

Ta lập các BĐT khác $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

                                  $c^{2}+1\geq 2c$

Cộng vào thu được $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2\left ( ab+bc+ca \right )$

Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng 1!

[KietLW9]

Giả sử c = min{a,b,c}

Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$ và $t=\sqrt{ab}\geqslant c$ 

Có: $f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geqslant 0$ 

$\Rightarrow f(a,b,c)\geqslant f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c) =f(t,t,c)$

Ta cần chứng minh f(t,t,c) không âm

Thật vậy: $f(t,t,c)=c^2+2t^2c-4tc+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geqslant 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 28-03-2021 - 17:35