Chủ đề này có 13 trả lời

[duck donald]

Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $$a^2+b^2\leq 2$$

[quangnghia]

Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $$a^2+b^2\leq 2$$

Ta có $a^{3}+a^{3}+1+b^{3}+b^{3}+1\geq 3a^{2}+3b^{2}$

$\Rightarrow 2a^{3}+1+2b^{3}+1\geq 3(a^{2}+b^{2})$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\leq 2$

[duck donald]

Ta có $a^{3}+a^{3}+1+b^{3}+b^{3}+1\geq 3a^{2}+3b^{2}$

$\Rightarrow 2a^{3}+1+2b^{3}+1\geq 3(a^{2}+b^{2})$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\leq 2$

Cái đó là cauchy cho 3 số phải không ? Bài này giải bằng bunhiacopxki đc ko nhỉ

[kanashini]

Nếu là cauchy thì chưa có đk a;b không âm

[kanashini]

Đề sai nếu không có đk a;b không âm

 

VD: a=-1 thì $b=\sqrt[3]{3}$

 

Suy ra;

 

$a^2+b^2>2$

[quangnghia]

Cái đó là cauchy cho 3 số phải không ? Bài này giải bằng bunhiacopxki đc ko nhỉ

bunha được nhưng a,b phải dương

[duck donald]

bunha được nhưng a,b phải dương

uk cứ cho a,b >0 đi

Giải giúp mk bằng bunhiacopski

[quangnghia]

Ta có $(a^{2}+b^{2})^{2}=(a\sqrt{a}\sqrt{a}+b\sqrt{b}\sqrt{b})^{2}\leq (a^{3}+b^{3})(a+b)\leq (a^{3}+b^{3})\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2})^{4}\leq (a^{3}+b^{3})^{2}.2(a^{2}+b^{2})$

Đến đây.......

[nguyenhongsonk612]

Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $$a^2+b^2\leq 2$$

Theo $AM-GM$ ta có BĐT sau $a^3+b^3\geq ab(a+b)$$\Rightarrow 2=a^3+b^3\geq \frac{(a+b)^3}{4}\Leftrightarrow a+b\leq 2$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$(a^2+b^2)^2=(a\sqrt{a}.\sqrt{a}+b\sqrt{b}.\sqrt{b})^2\leq (a^3+b^3)(a+b)\leq 2.2=4$

$\Rightarrow a^2+b^2\leq 2$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 09-08-2014 - 23:09

[buiminhhieu]

Ta có $(a^{2}+b^{2})^{2}=(a\sqrt{a}\sqrt{a}+b\sqrt{b}\sqrt{b})^{2}\leq (a^{3}+b^{3})(a+b)\leq (a^{3}+b^{3})\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2})^{4}\leq (a^{3}+b^{3})^{2}.2(a^{2}+b^{2})$

Đến đây.......

Sai~

$a,b$ thuộc $R$ nên chưa chắc có $\sqrt{a};\sqrt{b}$

[duck donald]

Theo $AM-GM$ ta có BĐT sau $a^3+b^3\geq ab(a+b)$$\Rightarrow 2=a^3+b^3\geq \frac{(a+b)^3}{4}\Leftrightarrow a+b\leq 2$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$(a^2+b^2)^2=(a\sqrt{a}.\sqrt{a}+b\sqrt{b}.\sqrt{b})^2\leq (a^3+b^3)(a+b)\leq 2.2=4$

$\Rightarrow a^2+b^2\leq 2$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=1$

Bạn dùng  bđt gì đó  nhỉ? Mình ko hiểu lắm

[Rias Gremory]

Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $$a^2+b^2\leq 2$$

Áp dụng BĐT Holder ta có : $x^{3}+y^{3}\geq \frac{(x+y)^{3}}{4}\Rightarrow x+y\leq 2$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky : $x^{2}+y^{2}\leq \sqrt{(x^{3}+y^{3})(x+y)}\leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BMT BinU: 10-08-2014 - 09:19

[huyhoangfan]

Giả sử $a+b>2$

     $\Leftrightarrow a>2-b$

    $\Leftrightarrow a^{3}> \left ( 2-b \right )^{3}$

     $\Leftrightarrow a^{3}> 8-12b+6b^{2}-b^{3}$

      $\Leftrightarrow 2> 8-12b+6b^{2}$

       $\Leftrightarrow 0> 6-12b+6b^{2}$

      $\Leftrightarrow  0> 1-2b+b^{2}$  (vô lý)

             Vậy $ a+b\leqslant2$

                      dấu = xảy ra khi $a=b=1$

Chỗ $a,b$ có bình phương mà anh!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangfan: 10-08-2014 - 09:12

[Rias Gremory]

Chỗ $a,b$ có bình phương mà anh!

Anh nhìn nhầm , đã Fix nhé !!