Đến nội dung

Hình ảnh

CM $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{c+b}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$ với a,b,c dương.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Mấy bạn dùng BĐT AM-GM dạng cộng mẫu để giải 2 bài này nhé:

 

1.Cho $a,b,c>0$. CMR:

   $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{c+b}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$.

2.Cho $a,b,c>0$. CMR:

   $\frac{b^{3}+2abc+c^{3}}{a^{2}+bc}+\frac{a^{3}+2abc+c^{3}}{b^{2}+ac}+\frac{b^{3}+2abc+a^{3}}{c^{2}+ba}\geq 2(a+b+c)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxthieuongxx: 12-08-2014 - 21:15


#2
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Mấy bạn dùng BĐT AM-GM dạng cộng mẫu để giải 2 bài này nhé:

 

1.Cho $a,b,c>0$. CMR:

   $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{c+b}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$.

Topic này chắc không vi phạm

Giải

Đặt $a+b=x;b+c=y;c+a=z$ $\Rightarrow a=\frac{x+z-y}{2};b=\frac{x+y-z}{2};c=\frac{y+z-x}{2}$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \frac{2z}{x}+\frac{2x}{z} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{2z}{y}+\frac{2y}{z} \end{pmatrix}\geq 10$

Thế nhưng BĐT này luôn đúng khi áp dụng $AM-GM$ cho từng cặp 

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c>0$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#3
Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết

Mấy bạn dùng BĐT AM-GM dạng cộng mẫu để giải 2 bài này nhé:

 

1.Cho $a,b,c>0$. CMR:

   $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{c+b}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$.

2.Cho $a,b,c>0$. CMR:

   $\frac{b^{3}+2abc+c^{3}}{a^{2}+bc}+\frac{a^{3}+2abc+c^{3}}{b^{2}+ac}+\frac{b^{3}+2abc+a^{3}}{c^{2}+ba}\geq 2(a+b+c)$.

1.

VT  $=\frac{(a+3c)^2}{(a+3c)(a+b)}+\frac{(c+3a)^2}{(c+3a)(c+b)}+\frac{(4b)^2}{4b(c+a)}$$\overset{\text{B.C.S}}{\ge}\frac{[(a+3c)+(c+3a)+(4b)]^2}{(a+3c)(a+b)+(c+3a)(c+b)+4b(c+a)}$$=\frac{(4a+4b+4c)^2}{a^2+c^2+8ab+8bc+6ca}$

Mà $(4a+4b+4c)^2=16(a^2+b^2+c^2)+32(ab+bc+ca)$$=6(a^2+c^2)+8(a^2+b^2)+8(b^2+c^2)+2(a^2+c^2)+32(ab+bc+ca)$

$\overset{\text{Côsi}}{\ge}6(a^2+c^2)+16ab+16bc+4ac+32(ab+bc+ca)=6(a^2+c^2+8ab+8bc+6ca)$

Suy ra $VT\ge 6$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c$.

 

2.

VT $+(a+b+c)=\sum_{a,b,c}\frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{a^2+bc}=(a^3+b^3+c^3+3abc).\sum_{a,b,c}\frac{1}{a^2+bc}$$\overset{\text{B.C.S}}{\ge}(a^3+b^3+c^3+3abc).\frac{9}{\sum(a^2+bc)}$

Do đó ta cần CM : $9(a^3+b^3+c^3+3abc)\ge 3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$ (*)

(*) $\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3+3abc)\ge a^3+b^3+c^3+2[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]+3abc$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$ (**). Đây là BĐT Schur bậc 3 quen thuộc.

Không mất tính TQ có thể g/s $a\ge b\ge c$. Khi đó :

(**) $\Leftrightarrow a(a-b)^2+(a-b)^2(b-c)+c(a-c)(b-c)\ge 0$ (Đúng do $a\ge b\ge c$).

Vậy (**) đúng $\Rightarrow$ (*) đúng $\Rightarrow$ (2) đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 13-08-2014 - 02:37


#4
CHU HOANG TRUNG

CHU HOANG TRUNG

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 237 Bài viết

Mấy bạn dùng BĐT AM-GM dạng cộng mẫu để giải 2 bài này nhé:

 

1.Cho $a,b,c>0$. CMR:

   $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{c+b}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$.

 

$P+2=\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{2a+4b+2c}{c+a}\geq \frac{16(a+c)^2}{(a+c)^2+4b(a+c)+4ac}+\frac{2a+4b+2c}{c+a}\geq \frac{16(a+c)}{2a+4b+2c}+\frac{2a+4b+2c}{c+a}\geq 8 (Cauchy-schwarz)$

Vậy ta có đpcm


:like  MATHS   :like

ღ Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 

 

:ukliam2: Học, Học nữa , Học mãi     :ukliam2:

:icon12:  :icon12:  :icon12:

 

   :ukliam2:      My Blog : http://chuhoangtrung....blogspot.com/      :ukliam2:

 


#5
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Mình có cách này hay nè:

 

Biến đổi
$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}= \frac{a+c}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})$    
$\geq \frac{4(a+c)}{a+2b+c} +\frac{a+2b+c}{a+c}-1+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
 
Ta áp dụng BĐT nesbit
$\Rightarrow $ $2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 3$
Và AM-GM với $\frac{4(a+c)}{a+2b+c} +\frac{a+2b+c}{a+c}\geq4$
 
$\Rightarrow $ đpcm
 
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh