Chủ đề này có 1 trả lời

[badatmath]

Cho $x,y,z> 0$, tìm $GTNN$ của
$P=\frac{x^7z}{x^5y^2z+2y^6}+\frac{y^7z^6}{y^5z^4+2x}+\frac{1}{x^2z^2+2x^6yz^7}$

[binhnhaukhong]

 Ta sẽ đi chứng minh rằng $P_{min}=1$.Thật vậy giả sử

$\frac{y}{x}=a,b=\frac{1}{yz},c=xz\rightarrow abc=1$ khi đó ta có:

$P=\sum \frac{1}{a^2(1+2a^5.b)}$.Do abc=1 nên tồn tại các số m,n,p sao cho:

$a=\frac{np}{m^2},b=\frac{mp}{n^2},c=\frac{mn}{p^2}$.Thay vào và rút gọn thì P có dạng:

$P= \frac{m^{13}}{n^2.p^2.m^9+2n^5.p^8}\geq \frac{(m^8+n^8+p^8)^2}{\sum n^2p^2m^{12}+2\sum n^5p^8m^3 }$

Mà theo BĐT AM-GM ta có được:

$m^{16}+n^{16}+p^{16}\geq \sum n^2.p^2.m^{12}$

$n^8.m^8+m^8.p^8+p^8.n^8\geq \sum n^5.p^8.m^3$

Do đó ta có dấu bằng khi $x=y=z=1$.