Cho a,b,c,d là các số dương.
Chứng minh: $\dpi{120} \frac{a-b}{b+c} +\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\geq \frac{a-d}{a+b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungtran14: 15-08-2014 - 10:56
Cho a,b,c,d là các số dương.
Chứng minh: $\dpi{120} \frac{a-b}{b+c} +\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\geq \frac{a-d}{a+b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungtran14: 15-08-2014 - 10:56
Keep claim to hold the light that never comes
Cho a,b,c,d là các số dương.
Chứng minh: $ \huge \frac{a-b}{b+c} +\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\geq \frac{a-d}{a+b}$.
BDT cần cm tương đương vs
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{a+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{b}{a+b}+\frac{d}{a+b}\geq 4$ (Đoạn này ko cần chia ra nhưng ngại nhân nên làm tn cho tiện)
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{c^2}{cb+c^2}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{d^2}{cd+d^2}+\frac{a^2}{a^2+da}+\frac{c^2}{ac+dc}+\frac{b^2}{ab+b^2}+\frac{d^2}{ad+bd}\geq 4$
Áp dụng BDT cauchy schawz ta có
$VT\geq\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}$
Vậy ta cần cm
$\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 1$
Nhân chéo lên ta nhận đc kq luôn đúng ta có đpcm
Dấu đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d
P/s để phông chữ nhỏ thôi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 14-08-2014 - 15:49
-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
-Albert Einstein
Cho a,b,c,d là các số dương.
Chứng minh: $ \huge \frac{a-b}{b+c} +\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\geq \frac{a-d}{a+b}$.
Cách khác ngắn hơn
Giải
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum \begin{pmatrix}\frac{a-b}{b+c}+1 \end{pmatrix}\geq 4\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\geq 4$
$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a+b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b+d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d} \end{pmatrix}\geq 4$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\begin{pmatrix} a+c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a} \end{pmatrix}\geq \frac{4(a+c)}{a+b+c+d}$
$\begin{pmatrix} b+d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d} \end{pmatrix}\geq \frac{4(b+d)}{a+b+c+d}$
Cộng theo vế ta có ĐPCM
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=d>0$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
BDT cần cm tương đương vs
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\geq 4$
vì sao ?
Keep claim to hold the light that never comes
vì sao ?
Cộng $1$ vào từng phân thức nhé bạn
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh