Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a+b}}\geq 2$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Mấy bài này các bạn làm bằng AM-GM nhé!

1. Cho 3 số không âm a, b, c thỏa mãn: Min{ (a+b); (b+c); (c+a) } > 0.

CMR:        $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$.

2. Cho 3 số không âm a, b, c thỏa mãn: Min{ (a+b); (b+c); (c+a) } > 0.

CMR:        $\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a+b}}\geq 2$.

 Bài 2 sử dụng kết quả bài 1 nhưng khó hơn!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxthieuongxx: 18-08-2014 - 19:47


#2
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

1) Áp dụng $AM-GM$ ta có $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}= \sum \frac{2a}{2\sqrt{a(b+c)}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu bằng xảy ra khi $2$ số bằng nhau và $1$ số bằng $0$ $Q.E.D$


NgọaLong

#3
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

Mấy bài này các bạn làm bằng AM-GM nhé!

1. Cho 3 số không âm a, b, c thỏa mãn: Min{ (a+b); (b+c); (c+a) } > 0.

CMR:        $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$.

 

1) Áp dụng $AM-GM$ ta có $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}= \sum \frac{2a}{2\sqrt{a(b+c)}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu bằng xảy ra khi $2$ số bằng nhau và $1$ số bằng $0$ $Q.E.D$

Bùi Ba Anh làm nhỡ đâu a=0 thì ko phù hợp lắm

Câu 1:

Áp dụng AM-GM $\sqrt{a(b+c)}\leq \frac{a+b+c}{2}\Rightarrow \frac{\sqrt{a(b+c)}}{2(a+b+c)}\leq 1\Rightarrow \frac{\sqrt{a(b+c)}}{2(a+b+c)}.\sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \sqrt{\frac{a}{b+c}}$.

Hay $\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ b=c & & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị.

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha.


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#4
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

2) Đặt $\sqrt[3]{a}=\sqrt{m};\sqrt[3]{b}=\sqrt{n};\sqrt[3]{c}=\sqrt{p}=>a^{2}=m^{3};b^{2}=n^{3};c^{2}=p^{3};$

Ta sẽ chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \sqrt{\frac{m}{n+p}}<=>(\frac{a}{b+c})^{2}=(\frac{m}{n+p})^{3}<=>(n+p)^{3}=(b+c)^{2}<=> n^{3}+p^{3}+3np(n+p)\geq b^{2}+c^{2}+2bc<=> 3np(n+p)\geq 2bc(*)$

Ta lại có $3np(n+p)\geq 3np(2\sqrt{np})= 6(\sqrt[3]{np})^{3}=6bc\geq 2bc$

Vậy $(*)$đúng,từ câu trên, bài toán được giải quyết, dấu bằng xảy ra khi $2$ số bằng nhau và $1$ số bằng $0$ $Q.E.D$

CHUẨN THÌ NGẠI GÌ LIKE :)


NgọaLong

#5
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Bạn có thể mở rộng bài toán cho tới $4$ phân thức $\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b+c+d}}\geq 2$, cách chứng minh cũng tương tự như trên


NgọaLong




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh