Chủ đề này có 1 trả lời

[datmc07061999]

Chứng minh :Một bài khá hay

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{a+1}}\geq 3$

Với $abc=1$

[einstein627]

Áp dụng trực tiếp AM-GM cho 3 số ta có 
$\sum \sqrt{\frac{a+b}{a+1}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Ta cần cm
$\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\geq 1$
Thật vậy ta có

$(a+b)(b+c)(c+a)= \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}.\sqrt[3]{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}\geq \sqrt[3]{8abc((a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2)}$
$=\prod \sqrt[3]{(a+a)(a+b)(a+c)}\geq \prod \sqrt[3]{(a+1)^3}=\prod (a+1)$ (ĐPCM)
Hình như có cách nhanh hơn nhưng thấy cách này đẹp