Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyentiendung9372]

Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} = xyz$. Chứng minh rằng $\sum {xy}  \ge 4\sum x  - 9$

[I Am Gifted So Are You]

$x^2+y^2+z^2=xyz\Leftrightarrow (\sum x)^2=2\sum xy+xyz\leq \frac{2}{3}(\sum x)^2+xyz\Rightarrow 3xyz\geq (\sum x)^2$
$\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{3xyz}\Rightarrow VP\leq 4\sqrt{3xyz}-9\Rightarrow VP^3\leq (4\sqrt{3xyz}-9)^3$

$\sum xy\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow (\sum xy)^3\geq 27x^2y^2z^2$
Ta cần cm

$27x^2y^2z^2\geq  (4\sqrt{3xyz}-9)^3$. Đặt $\sqrt{3xyz}=t$ thì $3t^4\geq (4t-9)^3$
Điều này luôn đúng với $t \geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Am Gifted So Are You: 23-08-2014 - 13:53