Chủ đề này có 2 trả lời

[Takamina Minami]

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z\leq 1$ 

 Tìm $Min P =\sqrt{x^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{z^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Takamina Minami: 19-08-2014 - 15:28

[bestmather]

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+2\leq 1$ 

 Tìm $Min P =\sqrt{x^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{z^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$ 

đề có nhầm ko bạn ?

chỗ đó phải là $x+y+z\leq 1$ chứ nhỉ ?!

[datmc07061999]

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z\leq 1$ 

 Tìm $Min P =\sqrt{x^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{z^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$ 

Áp dụng BĐT sau: $\sum \sqrt{x^{2}+a^{2}}\geq \sqrt{(\sum x)^{2}+(\sum a)^{2}}$.

Ta được: $P\geq \sqrt{(\sum x)^{2}+(\sum \frac{1}{x})^{2}}= \sqrt{\sum x^{2}+\sum \frac{1}{x^{2}}+2\sum xy+2\sum \frac{1}{xy}}$.

Ta có: $x^{2}+\frac{1}{81x^{2}}\geq \frac{2}{9}\Rightarrow \sum x^{2}+\sum \frac{1}{81x^{2}}\geq \frac{2}{3}$.

           $2xy+\frac{2}{81xy}\geq \frac{4}{9}\Rightarrow \sum 2xy+\sum \frac{2}{81xy}\geq \frac{4}{3}$.

Dùng C-S:

                $\sum \frac{80}{81x^{2}}+ \sum \frac{160}{81xy}= \frac{80}{81}(\sum \frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{xy})= \frac{80}{81}(\sum \frac{1}{x^{2}}+\sum \frac{4}{2xy})\geq \frac{80}{81}.\frac{(1+1+1+2+2+2)^{2}}{(x+y+z)^{2}}\geq 80$.

$\Rightarrow Min_{P}\leq \sqrt{82}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$.

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...