Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015
Câu I: Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : $p-4$ không thể là lũy thừa bậc 4 của 1 số nguyên.
Câu II: Giả hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3=y^3+56\\ 3x^2-9x=y^2-y+10 \end{matrix}\right.$$
Câu III: Cho $\Delta ABC$ nhọn. Gọi $P$ là điểm di chuyển trên $BC$. $(K), (L)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta PAB,\Delta PAC$. Lấy $S$ thuộc $(K)$ sao cho $PS\parallel AB$, lấy $T$ thuộc $(L)$ sao cho $PT\parallel AC$
a, Chứng minh: Đường tròn ngoại tiếp $\Delta AST$ đi qua điểm cố định khác $A$ là $J$
b, Gọi $(K)$ cắt $CA$ tại $E$, $(L)$ cắt $AB$ ở $F$ khác $A$. $BE$ cắt $CF$ ở $G$. Chứng minh rằng : $PG$ đi qua $J$ khi và chỉ khi $AP$ đi qua tâm đường tròn Euler của $\Delta ABC$.
Câu IV: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\frac{a\left ( a^3+b^3 \right )}{a^2+ab+b^2}+\frac{b\left (b^3+c^3 \right )}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c\left (c^3+a^3 \right )}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^2$$
Câu V: Với $n$ là 1 số nguyên dương ta xét 1 bảng ô vuông $n \times n$. Mỗi ô vuông con được tô bởi 2 màu đỏ và xanh. TÌm $n$ nhỏ nhất sao cho với mỗi cách tô màu luôn có thể chọn được 1 hình chữ nhật các ô vuông con kích thước $m \times k\;\left (2\leq k; m\leq n \right )$ mà bốn ô vuông con ở 4 góc của hình chữ nhật này có cùng màu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 20-08-2014 - 08:32
LaTeX fixed