Chủ đề này có 5 trả lời

[shinichikudo201]

Ch $a; b; c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:

$a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+\frac{5}{9}\geq 2xyz(x+y+z)$

[datmc07061999]

Ch $a; b; c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:

$a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+\frac{5}{9}\geq 2xyz(x+y+z)$

Ta có $a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\geq \sum a^{2}b^{3}c=abc(\sum ab^{2})=abc(\sum ab^{2}+\sum \frac{1}{9a})- \frac{1}{9} \sum bc\geq \frac{2}{3}abc(\sum a)-\frac{1}{9}$.

Suy ra BĐT cần chứng minh thành $\frac{4}{9}\geq \frac{4}{3}\prod a.\sum a\Leftrightarrow 3abc(a+b+c)\leq 1$.

Từ (gt) ta có $\sum (ab)^{2}+2abc(a+b+c)=1$

     mà $\sum (ab)^{2}\geq abc(a+b+c)\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leq 1$.

Phép chứng minh hoàn tất...

Các bạn like ủng hộ mình nha...

[chardhdmovies]

Ch $a; b; c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:

$a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+\frac{5}{9}\geq 2xyz(x+y+z)$

đặt $\left\{\begin{matrix} ab=x\\bc=y \\ca=z \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=1$

ta cần chứng minh $\sum \frac{x^3z}{y}+\frac{5}{9}\geq 2(xy+yz+zx)$

ta có $\frac{x^3z}{y}+\frac{yz}{3}+\frac{z}{9}\geq xz$

tương tự cộng lại ta được $\sum \frac{x^3z}{y}+\frac{1}{9}\geq \frac{2}{3}(xy+yz+zx)$

mà ta có $xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{4}{3}(xy+yz+zx)\leq \frac{4}{9}$

do đó có đpcm 

[vua thac mac]

Ta có $a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\geq \sum a^{2}b^{3}c=abc(\sum ab^{2})=abc(\sum ab^{2}+\sum \frac{1}{9a})- \frac{1}{9} \sum bc\geq \frac{2}{3}abc(\sum a)-\frac{1}{9}$.

Suy ra BĐT cần chứng minh thành $\frac{4}{9}\geq \frac{4}{3}\prod a.\sum a\Leftrightarrow 3abc(a+b+c)\leq 1$.

Từ (gt) ta có $\sum (ab)^{2}+2abc(a+b+c)=1$

     mà $\sum (ab)^{2}\geq abc(a+b+c)\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leq 1$.

Phép chứng minh hoàn tất...

Các bạn like ủng hộ mình nha...

Bạn ơi cho mình hỏi chỗ này bạn làm sao ra được bđt đó vậy ạ!

[chardhdmovies]

Bạn ơi cho mình hỏi chỗ này bạn làm sao ra được bđt đó vậy ạ!

là áp dụng $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ đấy

[Messi10597]

đã có ở đây http://diendantoanho...-năm-2014-2015/