Chủ đề này có 1 trả lời

[ZzZzZzZzZ]

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm các mặt đối diện với các đỉnh A,B,C,D lần lượt là A',B',C',D'. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC,AD,BD,AC. Chứng minh:

a) AA',BB',CC' đồng quy,\. Gọi điểm đòng quy là G.

b) C/m G là trung điểm của các đoạn MN,PQ,RS

[ChiLanA0K48]

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm các mặt đối diện với các đỉnh A,B,C,D lần lượt là A',B',C',D'. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC,AD,BD,AC. Chứng minh:

a) AA',BB',CC' đồng quy,\. Gọi điểm đòng quy là G.

b) C/m G là trung điểm của các đoạn MN,PQ,RS

 

a)

Trong tam giác $QBC$,gọi $G$ là giao điểm $BB'$ và $CC'$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} G\in BB'\subset (ABN)\\ G\in CC'\subset (ACR) \end{matrix}\right. \Rightarrow (ABN)\cap (ACR)\equiv G$ (1)

$A'$ là trọng tâm tam giác $BCD$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A'\in CR\subset (ACR)\\ A'\in BN\subset (ABN) \end{matrix}\right. \Rightarrow (ACR)\cap (ABN)\equiv AA'$

suy ra $AA'$ là giao tuyến của $(ABN)$ và $(ACR)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A,G,A'$ thẳng hàng.

Suy ra $AA',BB',CC'$ đồng qui tại $G$

 

 

P/s: Nếu được sử dụng, bạn có thể dùng tiên đề Euclid: Nếu 3 mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau

Áp dụng bài toán, ta có 3 mặt phẳng $(ABN),(BCQ),(CAR)$ đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến $AA',BB',CC'$ mà ba đường thẳng này không thể song song suy ra chúng đồng quy tại $G$

 

b)

$\left\{\begin{matrix} G\in CC'\subset (CDM)\\ G\in AA'\subset (ABN) \end{matrix}\right. \Rightarrow (ABN)\cap (CDM)\equiv G$

Mặt khác dễ dàng chứng minh $(ABN)\cap (CDM)\equiv MN$

Suy ra $G\in MN$

Chứng minh tuơng tự $G\in PQ$; $G\in RS$

Cũng chứng minh được các tứ giác $MPNQ$, $MSNR$ là hình bình hành

Suy ra $G$ là trung điểm của $MN,PQ,RS$

 

Hình vẽ: https://docs.google....meFYknZCM0/edit

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiLanA0K48: 21-08-2014 - 11:53