Cho $\Delta ABC$, $\left ( O \right )$ nội tiếp $\Delta ABC$ và tiếp xúc các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt ở $A', B', C'$.
CMR: Nếu $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$ thì $\Delta ABC$ đều
Đã gửi 21-08-2014 - 22:04
Cho $\Delta ABC$, $\left ( O \right )$ nội tiếp $\Delta ABC$ và tiếp xúc các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt ở $A', B', C'$.
CMR: Nếu $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$ thì $\Delta ABC$ đều
Đã gửi 21-08-2014 - 22:48
ta chứng minh bổ đề sau
Với D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC thì $\overrightarrow{AD}=\frac{DC}{BC}\overrightarrow{AB}+\frac{DB}{BC}\overrightarrow{AC}$
Thật vậy ta có
Gọi E thuộc cạnh AB sao cho DE song song với AC . Ta có$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}=\frac{AE}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{DE}{AC}\overrightarrow{AC}$
Áp dụng Ta- lét ta có đpcm
Quay lại bài toán, đặt AC' = AB'= x, CB' = CA' = y, BA' = BC' = z
Ta có $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$
= $\frac{z}{z+y}\overrightarrow{AC}+\frac{y}{z+y}\overrightarrow{AB}+\frac{x}{x+y}\overrightarrow{BC}+\frac{y}{x+y}\overrightarrow{BA}+\frac{x}{x+z}\overrightarrow{CB}+\frac{z}{x+z}\overrightarrow{CA}$
= $(\frac{z}{z+y}-\frac{z}{x+z})\overrightarrow{AC}+(\frac{y}{z+y}-\frac{y}{x+y})\overrightarrow{AB}+(\frac{x}{x+y}-\frac{x}{x+z})\overrightarrow{BC}$
Mà $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$ = 0
Nên Ta có x = y = z ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\neq 0$)
nên A', B', C' là trung điểm của BC, CA, AB
ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 23-08-2014 - 19:55
Đã gửi 21-08-2014 - 22:49
$(\frac{z}{z+y}-\frac{z}{x+z})\overrightarrow{AC}+(\frac{y}{z+y}-\frac{y}{x+y})\overrightarrow{AB}+(\frac{x}{x+y}-\frac{x}{x+z})\overrightarrow{BC}$
Chỗ này mình làm hơi tắt, xin lỗi nha. Các cái trong ngoặc đều bằng 0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 21-08-2014 - 23:52
Đã gửi 21-08-2014 - 22:55
Bài này mở rộng thêm nữa ta có thể chứng minh cả 2 chiều thuận và đảo. Tương tự
Đã gửi 21-08-2014 - 22:59
Chỗ này mình làm hơi tắt, xin lỗi nha. CÁc cái trong ngoặc đều bằng 0
k s đâu bạn
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh