Chủ đề này có 4 trả lời

[habayern]

Cho $\Delta ABC$, $\left ( O \right )$ nội tiếp $\Delta ABC$ và tiếp xúc các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt ở $A', B', C'$. 

CMR: Nếu $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$ thì $\Delta ABC$ đều

[Vo Sy Nguyen]

ta chứng minh bổ đề sau

Với D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC thì $\overrightarrow{AD}=\frac{DC}{BC}\overrightarrow{AB}+\frac{DB}{BC}\overrightarrow{AC}$

Thật vậy ta có

Gọi E thuộc cạnh AB sao cho DE song song với AC . Ta có$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}=\frac{AE}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{DE}{AC}\overrightarrow{AC}$

Áp dụng Ta- lét ta có đpcm

 

Quay lại bài toán, đặt AC' = AB'= x, CB' = CA' = y, BA' = BC' = z

Ta có  $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$

= $\frac{z}{z+y}\overrightarrow{AC}+\frac{y}{z+y}\overrightarrow{AB}+\frac{x}{x+y}\overrightarrow{BC}+\frac{y}{x+y}\overrightarrow{BA}+\frac{x}{x+z}\overrightarrow{CB}+\frac{z}{x+z}\overrightarrow{CA}$

= $(\frac{z}{z+y}-\frac{z}{x+z})\overrightarrow{AC}+(\frac{y}{z+y}-\frac{y}{x+y})\overrightarrow{AB}+(\frac{x}{x+y}-\frac{x}{x+z})\overrightarrow{BC}$

Mà  $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$ = 0

Nên Ta có x = y = z ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\neq 0$)

nên A', B', C' là trung điểm của BC, CA, AB

ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 23-08-2014 - 19:55

[Vo Sy Nguyen]

$(\frac{z}{z+y}-\frac{z}{x+z})\overrightarrow{AC}+(\frac{y}{z+y}-\frac{y}{x+y})\overrightarrow{AB}+(\frac{x}{x+y}-\frac{x}{x+z})\overrightarrow{BC}$

 

Chỗ này mình làm hơi tắt, xin lỗi nha. Các cái trong ngoặc đều bằng 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 21-08-2014 - 23:52

[Vo Sy Nguyen]

Bài này mở rộng thêm nữa ta có thể chứng minh cả 2 chiều thuận và đảo. Tương tự

[habayern]

Chỗ này mình làm hơi tắt, xin lỗi nha. CÁc cái trong ngoặc đều bằng 0

k s đâu bạn