Chủ đề này có 1 trả lời

[chuyentoan]

Cho lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ có các cạnh bằng nhau và $$\widehat{A_1}+\widehat{A_3}+\widehat{A_5}=\widehat{A_2}+\widehat{A_4}+\widehat{A_6}$$.

CMR:
$$\widehat{A_1}=\widehat{A_4}; \widehat{A_2}=\widehat{A_5}; \widehat{A_3}=\widehat{A_6}$$

[chanhquocnghiem]

Cho lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ có các cạnh bằng nhau và $$\widehat{A_1}+\widehat{A_3}+\widehat{A_5}=\widehat{A_2}+\widehat{A_4}+\widehat{A_6}$$.

CMR:
$$\widehat{A_1}=\widehat{A_4}; \widehat{A_2}=\widehat{A_5}; \widehat{A_3}=\widehat{A_6}$$

Ta có : $\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}+...+\widehat{A_{6}}=720^o\Rightarrow \widehat{A_{1}}+\widehat{A_{3}}+\widehat{A_{5}}=\widehat{A_{2}}+\widehat{A_{4}}+\widehat{A_{6}}=360^o$

$1)$ Chứng minh $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{4}}$

+ Giả sử $\widehat{A_{1}}< \widehat{A_{4}}\Rightarrow \widehat{A_{6}}+\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}< \widehat{A_{6}}+\widehat{A_{4}}+\widehat{A_{2}}=360^o$ (1)

(1) $\Rightarrow \widehat{A_{5}A_{6}A_{2}}+\widehat{A_{6}A_{2}A_{3}}=\widehat{A_{6}}+\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}-180^o< 180^o$ (2)

Mặt khác, gọi độ dài mỗi cạnh lục giác là $a$. Ta có :

$A_{6}A_{2}=\sqrt{2a^2-2a^2cosA_{1}}$ ; $A_{5}A_{3}=\sqrt{2a^2-2a^2cosA_{4}}$ (định lý hàm số cos trong tam giác)

$\widehat{A_{1}}< \widehat{A_{4}}\Rightarrow cosA_{1}> cosA_{4}\Rightarrow A_{6}A_{2}< A_{5}A_{3}$ (3)

Gọi $A{}'_{3}$ là điểm sao cho $A_{6}A_{2}A{}'_{3}A_{5}$ là hình bình hành.

(3) $\Rightarrow A_{5}$ và $ A_{3}$ không nằm cùng phía so với đường thẳng $A_{2}A{_{3}}'$

$\Rightarrow \widehat{A_{5}A_{6}A_{2}}+\widehat{A_{6}A_{2}A_{3}}> \widehat{A_{5}A_{6}A_{2}}+\widehat{A_{6}A_{2}A{}'_{3}}=180^o$ (4)

(2) và (4) mâu thuẫn ---> điều giả sử $\widehat{A_{1}}< \widehat{A_{4}}$ là sai.

+ Giả sử $\widehat{A_{1}}> \widehat{A_{4}}$Tương tự ta cm được điều giả sử này cũng sai.

$\Rightarrow \widehat{A_{1}}= \widehat{A_{4}}$

$2)$

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được $\widehat{A_{2}}=\widehat{A_{5}}$ và $\widehat{A_{3}}=\widehat{A_{6}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-12-2013 - 23:20